Integration

09.01.2017, 19:02	Akay	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration Meine Frage: Integriere Integral cosx^1/2 mit substitution und anschließender partieller integration. Wie soll das genau funktionieren? Meine Ideen: U=x^1/2 und weiter weiß ich nicht wirklich
09.01.2017, 19:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um $\begin{eqnarray} \int\! \cos(x^{\frac 12}) \, dx \end{eqnarray}$ ? Hast du schon mal ein Integral per Substitution berechnet? Hier läuft das eigentlich nicht anders ab als bei anderen Integralen. $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx}=... \rightarrow dx=...\ du \rightarrow ... \end{eqnarray}$
10.01.2017, 14:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[Für Interessierte (keine Antwort auf Akays Frage)] $\begin{align} f(x) = \cos \left( \sqrt{x} \right) \end{align}$ ist eine interessante Funktion. Zunächst mal ist sie nur für reelle $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ definiert. Schaut man sich aber die Potenzreihe an, so erkennt man, daß sich $\begin{align} f(x) \end{align}$ zu einer komplexen ganzen Funktion $\begin{align} f(z) \end{align}$ fortsetzen läßt: $\begin{align} f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^n \, , \ \ z \in \mathbb{C} \end{align}$ Man kann $\begin{align} f(z) \end{align}$ geschlossen durch $\begin{align} f(z) = \cos \left( \sqrt{z} \right) \, , \ \ z \in \mathbb{C} \end{align}$ angeben. Die Mehrdeutigkeit der komplexen Quadratwurzel wird durch die Geradheit der Cosinusfunktion kompensiert. Man hat also tatsächlich eine wohldefinierte holomorphe Funktion vor sich. Nimmt man speziell negative reelle $\begin{align} z = -x \end{align}$ mit $\begin{align} x>0 \end{align}$ , so berechnet man $\begin{align} f(-x) = \cos \left( \sqrt{-x} \right) = \cos \left( \operatorname{i} \sqrt{x} \right) = \cosh \left( \sqrt{x} \right) \end{align}$ Zuletzt ist mit $\begin{align} \sqrt{x} \end{align}$ die gewöhnliche reelle positive Quadratwurzel gemeint. [attach]43572[/attach] Wieder rein reell betrachtet wird also das ursprüngliche $\begin{align} f(x) \end{align}$ der Aufgabe durch $\begin{align} f(x) = \begin{cases} \cosh \left( \sqrt{-x} \right), & x < 0 \\ \cos \left( \sqrt{x} \right), & x \geq 0 \end{cases} \end{align}$ in natürlicher Weise reell holomorph in den Bereich $\begin{align} x<0 \end{align}$ fortgesetzt. Insbesondere ist $\begin{align} f(x) \end{align}$ bei $\begin{align} x=0 \end{align}$ unendlich oft differenzierbar. Die Ableitungen entnimmt man nach dem Taylorschen Satz der obigen Potenzreihe: $\begin{align} f^{(n)}(0) = n! \cdot \frac{(-1)^n}{(2n)!} \end{align}$ [/Für Interessierte]

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