Zufallsvariable

09.01.2017, 19:05

chelsea94

Zufallsvariable

Meine Frage:
P(/X-3/)>1) die Striche sollten Betragsstriche darstellen. Das Resultat ist 0.618. Wie kommt man nur auf das?

Meine Ideen:
ich weiss nicht genau, wie ich die Aufgabe anpacken soll.

09.01.2017, 19:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von chelsea94
Wie kommt man nur auf das?

Wie kommst du darauf, dass wir dir dabei helfen könnten, wenn du NULL (!) Informationen über die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ lieferst? Forum Kloppe

09.01.2017, 20:19

chelsea94

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Ja sorry, habe ich vergessen anzugeben.
Die Zufallsvariabel ist normalverteilt mit Erwartungswert 3 und Varianz 4.

09.01.2017, 20:39

10001000Nick1

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Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ normalverteilt ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilt (dabei sind $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ die Varianz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ). Und für die Standardnormalverteilung gibt es Tabellen, in denen man die Werte der Verteilungsfunktion ablesen kann.

09.01.2017, 20:42

chelsea94

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Ja das kenne ich aber was ist in der Aufgabe das X?Wie sieht die Gleichung aus?

09.01.2017, 20:45

10001000Nick1

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Das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist deine Zufallsvariable.
Welche Gleichung meinst du?

Du musst dir überlegen, welche Werte $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2} \end{eqnarray*}$ annehmen kann, wenn $\begin{eqnarray*} |X-3|>1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann ist $\begin{eqnarray*} P(|X-3|>1)=P\left(\left|\frac{X-3}{2}\right|>...\right)=... \end{eqnarray*}$

09.01.2017, 20:52

chelsea94

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Damit die Gleichung stimmt muss X>5 und X<1 sein, oder? Wie komme ich anschliessend auf die Wahrscheinlichkeit?

09.01.2017, 21:03

10001000Nick1

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Was genau hast du gerechnet? Das hat jedenfalls nicht viel mit der richtigen Lösung zu tun. verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} |X-3|>1 \end{eqnarray*}$ ist, gilt $\begin{eqnarray*} X-3>... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X-3<... \end{eqnarray*}$ .

Und damit muss dann $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}>... \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}<... \end{eqnarray*}$ gelten.

Eine andere Möglichkeit ist, die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |X-3|<1 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten sofort durch 2 zu dividieren.

09.01.2017, 21:15

chelsea94

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Ich habe mir überlegt, welche Zahlen ich für x einsetzen kann, damit die Ungleichung noch stimmt. Aber es ist der falsche Ansatz.
Und damit muss dann X-3/2>.... X-3/2< sorry aber ich verstehe es nicht, wie komme ich anschliessend weiter.

09.01.2017, 21:23

10001000Nick1

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Aus $\begin{eqnarray*} |X-3|>1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} X-3>1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X-3<-1 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} X>4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X<2 \end{eqnarray*}$ ; du hattest die beiden Werte oben falsch). Soweit klar?

Und deswegen muss $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}>\frac 12 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}<-\frac 12 \end{eqnarray*}$ gelten.

Wir wissen jetzt also $\begin{eqnarray*} P(|X-3|>1)=P\left( \frac{X-3}{2}>\frac 12 \text{ oder } \frac{X-3}{2}<-\frac 12 \right) \end{eqnarray*}$ .
Nach einer kleinen Umformung kannst du diese Wahrscheinlichkeit mit einer Tabelle der Standardnormalverteilung bestimmen.

09.01.2017, 21:38

chelsea94

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Ja soweit ist klar, danke!
Muss ich es jetzt so unformen das X alleine auf einer Seite steht, oder wie ist das gemeint?

09.01.2017, 21:47

10001000Nick1

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Die Ungleichungen bleiben so stehen. Wir haben das ja extra so umgeformt, dass auf der linken Seite der Ungleichungen eine standardnormalverteilte Zufallsvariable steht.

Aber du weißt doch sicherlich etwas über die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier disjunkter Ereignisse.
Die beiden Ereignisse $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}>\frac 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}<-\frac 12 \end{eqnarray*}$ können niemals beide gleichzeitig eintreten, sind also disjunkt.

Das Ereignis " $\begin{eqnarray*} \frac{X-3}{2}>\frac 12 \text{ oder } \frac{X-3}{2}<-\frac 12 \end{eqnarray*}$ " ist die Vereinigung der beiden. Also?

09.01.2017, 21:57

chelsea94

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Danke!Dann muss ich die Wahrscheinlichkeit für die einte plus die Wahrscheinlichkeit der anderen? Was sind meine Wahrscheinlichkeiten?

09.01.2017, 21:59

10001000Nick1

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Ja, du musst die Wahrscheinlichkeiten addieren.

Zitat:

Original von chelsea94
Was sind meine Wahrscheinlichkeiten?

Ich hätte ja gedacht, dass du das selbst herausfindest. Alles, was du brauchst, habe ich oben schon geschrieben: Eine Tabelle der Standardnormalverteilung.

09.01.2017, 22:05

chelsea94

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Wie komme ich auf die 0.618? Es muss ja x1+x2=0.618 sein, oder? Aber bei der Tabelle ist der kleinste Wert x=o schon 0.5.

09.01.2017, 22:08

10001000Nick1

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Schreib dir mal genau auf, welche beiden Wahrscheinlichkeiten du addieren musst.

09.01.2017, 23:03

chelsea94

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Mhh komme nicht drauf. Wahrscheinlich muss man eimal noch 1- benutzen?
Danke für die Hilfe

09.01.2017, 23:18

10001000Nick1

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Wo genau ist denn noch das Problem?

Wir hatten oben gesagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P\left( \frac{X-3}{2}>\frac 12 \text{ oder } \frac{X-3}{2}<-\frac 12 \right) \end{eqnarray*}$ berechnen wollen und dass wir dazu die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addieren können:

$\begin{eqnarray*} P\left( \frac{X-3}{2}>\frac 12\right)+P\left(\frac{X-3}{2}<-\frac 12 \right) \end{eqnarray*}$

Und ja, es kommt auch ein "1-..." vor (u.a. für die Gegenwahrscheinlichkeit).

Den Rest solltest du jetzt aber selbst schaffen. Wenn nicht, schlaf eine Nacht drüber, und schau morgen nochmal drauf. smile

09.01.2017, 23:51

chelsea94

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Ich hätte es folgendermassen gedacht: 0.5-3/2=-1.25 gibt mir schlussendlich 0.894
dann noch -0.5-3/2=-1.75 gibt mir (1-0.96)=0.04. so bleiben 0.894 und 0.04 übrig. Aber so komme ich nciht auf 0.681. Was habe ich falsch gemacht?

10.01.2017, 08:22

HAL 9000

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Statt dir alles logisch zusammenzusetzen, "arbeitest" du viel mit Trial-and-Error. Das klappt solange, wie dir einer dann immer mit "Nein/Nein/Ja/..." Rückmeldung gibt - ist aber eine furchtbare unselbständige Arbeitsweise. unglücklich

Wie oben festgestellt, ist $\begin{align*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-3}{2} \end{align*}$ standardnormalverteilt.

10001000Nick1 hat das ganze auf $\begin{align*} P\left( Z>\frac{1}{2}\right) + P\left( Z<-\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ zurückgeführt. Symmetriebetrachtungen zur Standardnormalverteilung ergeben $\begin{align*} P\left( Z<-\frac{1}{2}\right) = P\left( Z>\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ , also geht es letztendlich um $\begin{align*} 2\cdot P\left( Z>\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ .

Tabelliert ist $\begin{align*} \Phi(t) = P\left( Z \leq t\right) \end{align*}$ für $\begin{align*} t\geq 0 \end{align*}$ .

So, jetzt solltest du dir überlegen, wie man $\begin{align*} 2\cdot P\left( Z>\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \Phi \end{align*}$ -Funktionswerten darstellen kann.

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