Minimaler Abstand zweier Punkte im Raum

10.01.2017, 10:11

Program4fun

Minimaler Abstand zweier Punkte im Raum

Hi.

Suche den Abstand zweier Punkte im Raum, die wie folgt gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} ~\vec{p}=\begin{pmatrix} \sin \theta \cdot \cos \varphi \\ \sin \theta \cdot \sin \varphi \\ \cos \theta\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und

$\begin{eqnarray*} ~\vec{q}=\begin{pmatrix} 0 \\ \sin \alpha \\ \cos \alpha\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Werte für $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sind vorgegeben, der Wert für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für den geringsten Abstand beider Punkte wird gesucht.

Abstand zweier Punkte im Raum:
$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(q_{1}-p_{1})^{2}-(q_{2}-p_{2})^{2}-(q_{3}-p_{3})^{2}} \end{eqnarray*}$

Beide Punkte eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} d=\sqrt{(\sin(\theta) \cdot \cos(\varphi)-0)^{2}-(\sin(\theta) \cdot \sin(\varphi)-\sin(\alpha))^{2}-(\cos(\theta)-\cos(\alpha))^{2}}=f(\alpha) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird es lustig. Um die Extremwerte zu finden muss man die erste Ableitung bilden und gleich 0 setzen.

$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=\frac {\cos \theta \cdot \sin \alpha - \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha}{\sqrt{(\sin \theta \cdot \sin \varphi - \sin \alpha)^{2}+(\cos \theta - \cos \alpha)^{2}+(\sin \theta \cdot \sin \varphi)^{2}}}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Nullstellen finden. Mein erster Ansatz:
Nullstellen sind dort zu finden, wo der Zähler 0 ist, also gilt:

$\begin{eqnarray*} 0=\cos \theta \cdot \sin \alpha - \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha =\cos \theta \cdot \sin \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\sin \theta \cdot \sin \varphi}{\cos \theta} = \frac {\sin \alpha}{\cos \alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=\tan^{-1}(\frac {\sin \theta \cdot \sin \varphi}{\cos \theta}) \end{eqnarray*}$

Allerdings passt das irgendwie nicht. Hammer

Außerdem müsste ich noch die zweite Ableitung erstellen, um auf Minimum zu überprüfen.

Hat hier noch jemand eine Idee, wie das evtl. leichter geht? Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank schon mal für jede Hilfe!!!!

10.01.2017, 10:19

HAL 9000

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Anmerkungen:

1) Der Abstand $\begin{align*} d \end{align*}$ wird genau dann minimal, wenn das Abstandsquadrat $\begin{align*} d^2 \end{align*}$ minimal ist. Insofern wäre $\begin{align*} f(\alpha)=d^2 \end{align*}$ die günstigere Wahl, da musst du dich nicht unnötigerweise mit den Wurzeln rumplagen.

2) Gleichung $\begin{align*} \tan(\alpha) = \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \end{align*}$ hat im in Frage kommenden $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ -Intervall $\begin{align*} [0,2\pi) \end{align*}$ (oder $\begin{align*} (-\pi,\pi] \end{align*}$ , wie du willst) nicht nur eine, sondern zwei Lösungen: Eine steht für das Minimum, die andere für das Maximum des Abstands. Augenzwinkern

EDIT: Ist mir beim ersten Durchlesen entgangen - es ist natürlich

$\begin{align*} d=\sqrt{(\sin(\theta) \cdot \cos(\varphi)-0)^{2}~{\color{red}+}~(\sin(\theta) \cdot \sin(\varphi)-\sin(\alpha))^{2}~{\color{red}+}~(\cos(\theta)-\cos(\alpha))^{2}} \end{align*}$ . geschockt

Glücklicherweise hat dieser Fehler keinen Einfluss auf die Bestimmungsgleichung $\begin{align*} \tan(\alpha) = \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \end{align*}$ der $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ -Extremstellen. Augenzwinkern

10.01.2017, 12:04

Program4fun

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Ahh, natürlich ist der Abstand die Summe der Quadrate. Hammer

Falsch abgetippert.

Zu 1)
Da muss man erst mal drauf kommen. Einfach Quadrat nehmen. Top! Danke! Gott

Hier die neue vereinfachte Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=2 \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha - \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha<br /> \end{eqnarray*}$

Gleich Null setzen:

$\begin{eqnarray*} 0=2 \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha - \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha=2 \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan \theta \cdot \sin \varphi =2 \cdot \tan \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \tan^{-1} (\frac {1}{2} \cdot \tan \theta \cdot \sin \varphi) \end{eqnarray*}$

Hoffe, das passt jetzt so. Danke!

10.01.2017, 12:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Program4fun
$\begin{eqnarray*} f'(\alpha)=2 \cdot \cos \theta \cdot \sin \alpha - \sin \theta \cdot \sin \varphi \cdot \cos \alpha<br /> \end{eqnarray*}$

Nein. Offenbar ist dir hinten ein Faktor 2 durch die Lappen gerutscht. Ich sagte doch bereits

Zitat:

Original von HAL 9000
Glücklicherweise hat dieser Fehler keinen Einfluss auf die Bestimmungsgleichung $\begin{align*} \tan(\alpha) = \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \end{align*}$

Zitat:

Original von Program4fun
$\begin{eqnarray*} \tan \theta \cdot \sin \varphi =2 \cdot \tan \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \tan^{-1} (\frac {1}{2} \cdot \tan \theta \cdot \sin \varphi) \end{eqnarray*}$

Hoffe, das passt jetzt so. Danke!

Und meine Anmerkung zu den zwei Lösungen der Tangensgleichung hast du auch ignoriert. Na vielen Dank auch für das aufmerksame Lesen.

10.01.2017, 13:56

Program4fun

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Zitat:

Original von HAL 9000
Offenbar ist dir hinten ein Faktor 2 durch die Lappen gerutscht.

Jawoll. Shit happens. Danke.

Zitat:

Original von HAL 9000
Und meine Anmerkung zu den zwei Lösungen der Tangensgleichung hast du auch ignoriert. Na vielen Dank auch für das aufmerksame Lesen.

Sorry, hab es nur ignoriert, weil ich dachte, Du hast meine erste vermeintlich falsche Lösung vereinfacht.
Hab erst jetzt gesehen, dass die neue mit der alten identisch ist.

Nochmal vielen Dank! Big Laugh

10.01.2017, 16:30

HAL 9000

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Mal Butter bei die Fische: Es gibt zwei Lösungen von $\begin{align*} \tan(\alpha) = \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \end{align*}$ , und zwar

$\begin{align*} \alpha_1 = \arctan\left( \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \right) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \alpha_2 = \alpha_1 + \pi \end{align*}$ (oder $\begin{align*} \alpha_2 = \alpha_1 - \pi \end{align*}$ , egal).

Nun ist $\begin{align*} f''(\alpha) = 2\left( \cos(\theta)\cos(\alpha)+\sin(\theta)\sin(\varphi)\sin(\alpha) \right) \end{align*}$ , die Extremstellenkandidaten eingesetzt ergibt das

$\begin{align*} f''\left(\alpha_k\right) = 2\left(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\sin^2(\varphi)\right)\cdot \frac{\cos\left(\alpha_k\right)}{\cos(\theta)} \end{align*}$ .

Die Minimumbedingung $\begin{align*} f''(\alpha) > 0 \end{align*}$ führt zur Bedingung $\begin{align*} \frac{\cos\left(\alpha_k\right)}{\cos(\theta)} > 0 \end{align*}$ , welche hilft, das richtige $\begin{align*} k\in\{1,2\} \end{align*}$ herauszusuchen, es gilt ja $\begin{align*} \cos(\alpha_2)=-\cos(\alpha_1) \end{align*}$ .

11.01.2017, 10:23

Program4fun

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Respekt!

Den Teil

$\begin{align*} 2\left(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\sin^2(\varphi)\right) \end{align*}$ kann man weglassen, weil er eh nur positiv sein kann.

Somit muss man nur auf $\begin{align*} \frac{\cos\left(\alpha_k\right)}{\cos(\theta)} > 0 \end{align*}$ testen und andernfalls nur $\begin{align*} \alpha_2 = \alpha_1 + \pi \end{align*}$ nehmen.

Danke!

Nochmal ne einfache Frage. Wie kommst Du auf

$\begin{align*} f''\left(\alpha_k\right) = 2\left(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\sin^2(\varphi)\right)\cdot \frac{\cos\left(\alpha_k\right)}{\cos(\theta)} \end{align*}$ .

Du hast

$\begin{align*} \alpha = \arctan\left( \tan(\theta)\cdot \sin(\varphi) \right) \end{align*}$

eingesetzt und dann vereinfacht?

Wie hast Du den $\begin{align*} \arctan \end{align*}$ aufgelöst?

Ganz großen Dank!

11.01.2017, 10:33

HAL 9000

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Bei $\begin{align*} f'' \end{align*}$ kann man $\begin{align*} \cos(\alpha) \end{align*}$ ausklammern und so zur Darstellung $\begin{align*} f''(\alpha) = 2\left( \cos(\theta)+\sin(\theta)\sin(\varphi)\tan(\alpha) \right)\cos(\alpha) \end{align*}$ gelangen. Für das $\begin{align*} \tan(\alpha) \end{align*}$ kann man nun im Fall unserer Extremalkandidaten $\begin{align*} \alpha=\alpha_k \end{align*}$ die Formel $\begin{align*} \tan(\alpha_k) = \tan(\theta)\sin(\varphi) \end{align*}$ einsetzen und bekommt

$\begin{align*} f''(\alpha_k) = 2\left( \cos(\theta)+\sin(\theta)\sin(\varphi)\tan(\theta)\sin(\varphi) \right)\cos(\alpha_k) \end{align*}$ .

Jetzt noch mit $\begin{align*} \cos(\theta) \end{align*}$ erweitern, und der genannte Ausdruck steht da.

11.01.2017, 15:59

Program4fun

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Hallo HAL 9000,

konnte jetzt alles nachvollziehen.

Vielen Dank nochmals für die schnelle und umfangreiche Hilfe!

Perfekt!

Viele Grüße
Program4fun

16.02.2017, 14:22

rumar

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RE: Minimaler Abstand zweier Punkte im Raum
Nur ein Hinweis:

Es wäre möglich, die Aufgabe mittels sphärischer Trigonometrie zu lösen.
Nach Veranschaulichung durch eine Zeichnung (beide Vektoren durch je einen Punkt auf der Einheitssphäre mit bekannten Azimutal- und Höhenwinkeln darstellen !) sieht man, dass man nur in einem passenden Kugeldreieck arbeiten muss und dort einen passenden Satz über das rechtwinklige sphärische Dreieck anwenden kann.

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