Nach welchen Variablen auflösbar?

10.01.2017, 11:28	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach welchen Variablen auflösbar? Hallo, ich würde gerne folgende Aufgabe mal korrigiert haben. Macht das so Sinn? Habe ich etwas vergessen? Ginge es irgendwie deutlicher bzw. wäre es von Nöten? Nach welchen der drei Variabeln x,y und z kann das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 4\sqrt{4}-x^2z-3\cosh(x,z)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^3x\log(x)-y^2x+\cos(x-z)=0 \end{eqnarray}$ in einer Umgebung des Punktes $\begin{eqnarray} (1,1,1) \end{eqnarray}$ mittels dem Satz über implizite Funktionen aufgelöst werden? Lösung: definiere $\begin{eqnarray} f(x,y,z):=\begin{pmatrix}4\sqrt{4}-x^2z-3\cosh(x,z) \\ z^3x\log(x)-y^2x+\cos(x-z)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_0:=(1,1,1) \end{eqnarray}$ Wir bilden die Jacobi-Matrix: $\begin{eqnarray} df=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{x}}-2xz& 3sinh(y-z)&-x^2+3sinh(y-z)\\ z^3(\log(x)+1)-y^2-\sin(x-z)&-2yx&3z^2x\log(x)+\sin(x-z)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} df(p_0)\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir sehen, dass die Matrix nur für $\begin{eqnarray} y, z \end{eqnarray}$ vollen Rang hat. Wir bekommen die Untermatrix $\begin{eqnarray} df_{y,z}(p_0)=\begin{pmatrix}0&-1\\-2&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da weiter $\begin{eqnarray} det(df_{y,z(p_0)})=-2\neq 0 \end{eqnarray}$ gilt, ist das gegebene Gleichungssystem für y,z in der Umgebung $\begin{eqnarray} p_0 \end{eqnarray}$ auflösbar.

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