Nichtverschwindender Fluss obwohl Divergenz null ist

10.01.2017, 14:53

balance

Nichtverschwindender Fluss obwohl Divergenz null ist

Hallo,

es ist möglich, dass ich diese Thematik so nie hatte. Ich dachte bis jetzt immer: Wenn die Divergenz eines Vektorfeldes null ist, es also Quellfrei ist, und ich den Fluss durch ein beliebiges Volumen inenrhalb dieses Vektorfeldes betrachte, so ist dieser null. [Wo keine Quelle ist, kann nichts fliessen]. Ich dachte immer, das sagt der Satz von Gauss aus.

Nun bin ich über folgende Aufgabe gestolpert:

Berechnen Sie den Fluss $\begin{eqnarray*} \int_S \vec{F}\cdot d\vec{n} \end{eqnarray*}$ des vektorfeldes

$\begin{eqnarray*} F: (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix}2xy\\ -y^2+\sin(x^3) \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

durch die Fläche

$\begin{eqnarray*} S:=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 | z=x^2+y^2, x+z\leq 2\} \end{eqnarray*}$ .

Dabei darf die Orientierung von S frei gewählt werden.

-------------------

Das Vektorfeld F ist divergenzfrei: $\begin{eqnarray*} div(\vec{F})=2y-2y=0 \end{eqnarray*}$ . (Ich erwarte also, dass der Fluss null ist). Nun wird gesagt: Gemäss dem Satz von Gauss können wir daher den Fluss durch eine beliebige Fläche mit Rand $\begin{eqnarray*} \partial S \end{eqnarray*}$ berechnen.

Frage: Ich sehe die hier gesagte Schlussfolgerung nicht. Ich lese es so, dass div=0 eine Bedingung des Satzes von Gauss ist - was doch nicht der Fall ist.

Wie dem auch sei: Die Projektion von $\begin{eqnarray*} \partial S \end{eqnarray*}$ auf die xy-Ebene ist

$\begin{eqnarray*} \{(x,y)\in\mathbb R^2| x^2 + x + y^2 = 2\}=\{(x,y)\in\mathbb R^2 | (x+\frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}\} \end{eqnarray*}$

Dann wird der Fluss durch das ebene Flächenstück
$\begin{eqnarray*} E:=\{(x,y)\in\mathbb R^2 | (x+\frac{1}{2})^2 + y^2 \leq 9/4, x+z=2\} \end{eqnarray*}$ berechnet.

Sie bekommen: $\begin{eqnarray*} \int_s \vec{F}\cdot d\vec{n}=\int_E\vec{F}\cdot d\vec{n}=...=\frac{9\pi}{4} \end{eqnarray*}$

Daher die Frage: Gibt es Fälle, in welchen das gegebene Vektorfeld Quellfrei ist, der Fluss aber trotzdem ungleich null ist? Falls ja, wie erkenne ich sowas? Falls nein, was passiert den hier sonst?

10.01.2017, 19:24

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RE: Nichtverschwindender Fluss obwohl Divergenz null ist
Dein S ist ein Paraboloid mit einem schrägen Deckel drauf. Du integrierst aber allem Anschein nach nur über den Deckel.

11.01.2017, 15:03

balance

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Naja, das ist die Lösung. Im Grunde verstehe ich die Argumentation die hier benutzt wird [das mit dem Gauss] nicht, und was das ganze mit der projektion soll, sehe ich auch nicht.

Wie dem auch sei: Es ist gut möglich, dass die Lösung einfach falsch ist. (Es hatte paar Fehler drin, da die Lösungen sozusagen nicht offiziell sind)

Die Frage aber bleibt: Der Fluss über ein divergenzfreies Vektorfeld ist für jede beliebige geschlossene Fläche null, oder gibt es da eine Aussnahme?

11.01.2017, 18:55

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Da sind mit Sicherheit Fehler drin - jedenfalls in dem, was du gepostet hast.
Aus S wird $\begin{eqnarray*} \partial S \end{eqnarray*}$ , was bei einer Fläche nicht viel Sinn ergibt.
E wird als Teilmenge von R^2 definiert, enthält aber eine Bedingung mit z, das nicht weiter eingeschränkt wird.
Die letzte Gleichung ist falsch, weil aus S einfach E wird.

Mit der Projektion beschafft man sich eine Parametrisierung für den Deckel.

Zitat:

Der Fluss über ein divergenzfreies Vektorfeld ist für jede beliebige geschlossene Fläche null,

Sofern die Voraussetzungen des Gaußschen Integralsatz erfüllt sind.

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