f(X) irreduzibel <=> f(aY+b) irreduzibel

10.01.2017, 15:03	Sunny911	Auf diesen Beitrag antworten »
f(X) irreduzibel <=> f(aY+b) irreduzibel Vor.: $\begin{align} R \end{align}$ Integritätsbereich, $\begin{align} a \end{align}$ ist Einheit, $\begin{align} b \end{align}$ ist keine Einheit, $\begin{align} \omega : R[X] \to R[Y] \end{align}$ Homomorphismus, $\begin{align} \omega (X)=aY+b, f(X) \in R[X] \end{align}$ Beh.: $\begin{align} f(X) \end{align}$ irreduzibel $\begin{align} \Leftrightarrow f(aY+b) \end{align}$ irreduzibel Meine Ideen: " $\begin{align} \Rightarrow \end{align}$ " $\begin{align} g(x) \end{align}$ sei Einheit in $\begin{align} R[X] \end{align}$ . Dann gilt: $\begin{align} \omega (f(x))= \omega (g(x)h(x))=\omega (g(x)) \omega (h(x))= (a g(y)+b)(a h(y)+b) \end{align}$ wegen $\begin{align} f(x) \end{align}$ irreduzibel, wobei $\begin{align} (a g(y)+b) \end{align}$ Einheit in $\begin{align} R[Y] \end{align}$ wegen Homomorphismuseigenschaft $\begin{align} =g(aY+b)h(aY+b) \end{align}$ mit $\begin{align} g(aY+b) \end{align}$ Einheit in $\begin{align} R[Y] \end{align}$ $\begin{align} = f(aY+b) \end{align}$ $\begin{align} \Rightarrow f(aY+b) \end{align}$ ist irreduzibel " $\begin{align} \Leftarrow \end{align}$ " z.Zg. $\begin{align} \omega \end{align}$ ist Isomorphismus surjektiv ist trivial injektiv: $\begin{align} \omega(f_1)= \omega (f_2) \Leftrightarrow a f_1(y)+b= a f_2(y)+b\Leftrightarrow f_1=f_2 \end{align}$ Die anschließende Diskussion über den Gebrauch von LaTeX wurde hierhin ausgelagert, da wohl sonst niemand mehr den Thread beachten wird. Steffen

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