Stetigkeit, Diffbarkeit, Konvexität

10.01.2017, 15:29

Sammy232

Stetigkeit, Diffbarkeit, Konvexität

Geg ist die Funktion $\begin{align*} f: [0,\infty] \to \mathbb{R} \end{align*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 0 &, x=0 \\ x \cdot ln(x) &, x > 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

Zeige, dass sie stetig auf [0,unendlich[ diffbar auf [0,unendlich[ und f ist konvex auf ]0,unendlich[

Brauche Ideen smile

Danke

10.01.2017, 16:03

klarsoweit

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RE: Stetigkeit, Diffbarkeit, Konvexität
Nun ja, der einzig interessante Punkt ist die Stelle x_0 = 0. Für Stetigkeit könntest du zeigen, daß für jede positive Nullfolge x_n die Folge f(x_n) gegen Null konvergiert. smile

11.01.2017, 09:02

Sammy232

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Sorry für die späte Antwort bin beim Mathelernen eingeschlafen :3

Also ich verstehe nicht so ganz was du meinst. Also ich weiß, was eine Nullfolge ist. Aber wie hätte ich dann damit die Stetigkeit gezeigt? Sorry für diese dumme Frage

Also ich habe mal im Script nachgeguckt da muss irgendwie der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmen. Aber Wenn man von links kommt weiß ich nicht, welche Funktion ich nehmen muss, um den Grenzwert zu bestimmen.

11.01.2017, 09:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sammy232
Also ich habe mal im Script nachgeguckt da muss irgendwie der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmen.

Das ist ungenau. Sofern die Funktion in einem offenen Intervall um x_0 definiert ist, müssen beide Grenzwerte existieren und gleich f(x_0) sein.

Zitat:

Original von Sammy232
Aber Wenn man von links kommt weiß ich nicht, welche Funktion ich nehmen muss, um den Grenzwert zu bestimmen.

Da gibt es offensichtlich keine Funktion. Für x_0 = 0 reicht in diesem Fall der rechtsseitige Grenzwert.

Zitat:

Original von Sammy232
Also ich weiß, was eine Nullfolge ist. Aber wie hätte ich dann damit die Stetigkeit gezeigt?

Das ist ein möglicher Weg, die Stetigkeit zu zeigen. Viele Wege führen bei diesem Thema zum Ziel. smile

11.01.2017, 09:59

Sammy232

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Also reicht es zu berechnen

$\begin{align*} \lim_{x \searrow \infty} x \cdot ln(x) = \lim_{x \searrow \infty} \frac{ln(x)}{\frac{1}{x}} \end{align*}$ und jetzt hospital? smile

11.01.2017, 10:06

Sammy232

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Sorry meine null natürlich also gegen null

11.01.2017, 10:15

klarsoweit

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Ja, das wäre eine Möglichkeit. smile

11.01.2017, 10:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sammy232
diffbar auf [0,unendlich[ und f ist konvex auf ]0,unendlich[

Kann es sein, dass du die beiden Intervallangaben versehentlich vertauscht hast? Augenzwinkern

11.01.2017, 11:01

Sammy232

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Jaaa Habe ich sogar ehrlich vertauscht Big Laugh

Maschine!!

$\begin{align*} \lim_{x \to x_0} \frac{x \cdot ln(x)-x_0 \cdot ln(x_0)}{x-x_0} \end{align*}$

Ist das der richtige Ansatz für diffbarkeit?

Wenn ja, wie müsste ich weiter umformen, habe versucht den oberen Teil umzuformen ist mir aber leider nicht gelungen :3

11.01.2017, 11:13

HAL 9000

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Da $\begin{align*} x\mapsto\ln(x) \end{align*}$ auf $\begin{align*} ]0,\infty[ \end{align*}$ differenzierbar ist, spricht nichts dagegen, für $\begin{align*} x_0>0 \end{align*}$ die ganz normalen Ableitungsregeln für das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen zu verwenden, d.h.,

$\begin{align*} f'(x) = x'\cdot \ln(x) + x\cdot (\ln(x))' = \ln(x) + x\cdot \frac{1}{x} = \ln(x)+1 \end{align*}$ für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ .

Sicherheitshalber solltest du dann noch zeigen, dass an der Stelle $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ keine Differenzierbarkeit vorliegt, das muss dann allerdings mit dem Differenzenquotient geschehen, wobei für $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ aber nicht $\begin{align*} f(x_0)\stackrel{?}{=}x_0\cdot\ln(x_0) \end{align*}$ , sondern schlicht $\begin{align*} f(x_0)=0 \end{align*}$ einzusetzen ist. Augenzwinkern

11.01.2017, 11:27

Sammy232

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Zitat:

Sicherheitshalber solltest du dann noch zeigen, dass an der Stelle x0=0 keine Differenzierbarkeit vorliegt, das muss dann allerdings mit dem Differenzenquotient geschehen, wobei für x0=0 aber nicht f(x0)=?x0⋅ln(x0), sondern schlicht f(x0)=0 einzusetzen ist.

$\begin{align*} \lim_{x \searrow 0} \frac{x \cdot ln(x)}{x} = \lim_{x \searrow 0} \frac{ln(x)+1}{x}=-\infty \end{align*}$

So oder? verwirrt

11.01.2017, 11:29

Sammy232

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$\begin{align*} \lim_{x \searrow 0} \frac{x \cdot ln(x)}{x} = \lim_{x \searrow 0} \frac{ln(x)+1}{1}=-\infty \end{align*}$

Sorry meine das

11.01.2017, 12:02

klarsoweit

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Nun ja, wahrscheinlich wohl eher: $\begin{align*} \lim_{x \searrow 0} \frac{x \cdot ln(x)}{x} = \lim_{x \searrow 0} ln(x) =-\infty \end{align*}$ smile

11.01.2017, 22:31

HAL 9000

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Off-topic

Zitat:

Original von Sammy232

Zitat:

Interessant: Manchen "gelingt" es, nicht nur beim Verfassen von Beiträgen, sondern sogar beim bloßen Zitieren von Beiträgen die Formeln zu verstümmeln. Was habt ihr nur für besch...e Browser auf euren Mobilgeräten, oder was immer für diesen Mist mit verantwortlich ist. Finger2

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