Grenzwerte gegen 0 bestimmen

10.01.2017, 18:46

Paulemaule

Grenzwerte gegen 0 bestimmen

Meine Frage:
Ich habe große Schwierigkeiten bei der Berechnung von Grenzwerten:

lim->0 ((1/ln(1+x))-1/x)

Meine Ideen:
Ich weiss, das 1/2 rauskommen müsste, aber ich komme leider nicht drauf.

Mit der zweiten Aufgabe lim->0 (1+x)^(2/x) komme ich auch nicht weiter.

Ich fürchte, ich habe grundlegend etwas nicht verstanden. Hilfe!

LG

10.01.2017, 18:54

HAL 9000

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1) Es ist $\begin{align*} \frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x} = \frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} = \frac{x-\ln(1+x)}{x^2}\cdot \frac{x}{\ln(1+x)} \end{align*}$ .

Beide Faktoren rechts konvergieren beim Grenzübergang $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ .

2) Substitution $\begin{align*} t=\frac{2}{x} \end{align*}$ liefert $\begin{align*} \lim_{x\searrow 0} (1+x)^{\frac{2}{x}} = \lim_{t\to\infty} \left(1+\frac{2}{t}\right)^t \end{align*}$ .

11.01.2017, 08:49

Paulemaule

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Hey,

wie kommst du von x-ln(1+x)/xln(1+x) auf den nächsten Schritt?
Lg

11.01.2017, 09:11

Steffen Bühler

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Erweitere mit x.

Viele Grüße
Steffen

11.01.2017, 09:19

paulemaule

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Hey,

Danke dir.

Wie oben geschrieben, habe ich ein ganz grundlegendes Problem: wenn ich alle x 0 werden lasse, dann bekomme ich ja 0/0* 0/0 oder? Was mache ich falsch?

11.01.2017, 09:23

HAL 9000

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Ein Wort zum "warum" dieser Produktzerlegung:

Man kann auch direkt L'Hospital $\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)} \end{align*}$ loslassen, allerdings entsteht dann wieder ein Grenzwert der Form 0/0, der ein erneutes L'Hospital mit schon deutlich aufwändigeren Termen (zumindest im Nenner) erforderlich macht.

Die beiden Einzelgrenzwerte $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{x}{\ln(1+x)} \end{align*}$ sind hingegen strukturell sehr einfach und nach jeweils einem L'Hospital-Schritt erledigt - daher der Zerlegungsvorschlag.

Alternativ kann man zur Grenzwertbestimmung auch die Reihenentwicklung von $\begin{align*} \ln(1+x) \end{align*}$ heranziehen.