Restgliedabschätzung bei Taylor

10.01.2017, 18:56

FineF

Restgliedabschätzung bei Taylor

Meine Frage:
Ich mache gerade eine Aufgabe zu Taylor. Das Polynom und den Wert habe ich schon berechnen können:

f(x)= ln((x/2)+(1/2))
xo= 1

Meine Ideen:
Ich habe mit T3= (x-1)-0,5(x-1)^2+1/3(x-1)^3

2^(1/3) habe ich bestimmen können mit T3(1,5)

Wie mache ich nun die Restgliedabschätzung? Mit der Formel habe ich große Probleme.

LG Finn

10.01.2017, 19:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von FineF
Ich habe mit T3= (x-1)-0,5(x-1)^2+1/3(x-1)^3

Da hab ich aber was anderes raus. Hast du die Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ auch wirklch an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=1 \end{eqnarray*}$ ausgewertet? Sieht bei dir eher nach Stelle 0 aus. unglücklich

Zitat:

Original von FineF
2^(1/3) habe ich bestimmen können mit T3(1,5)

Was hat denn $\begin{eqnarray*} 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} T_3(1.5) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(1.5)=\ln\left(\frac{5}{4}\right) \end{eqnarray*}$ zu tun??? Erstaunt1

11.01.2017, 08:08

fineF

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guten Morgen!

Ja, ich habe 1 eingesetzt. Vielleicht habe ich falsch abgeleitet?

Ist f"(x)= -1/((x/2)+(1/2))^2?

Und ich hatte mich vekuckt, nicht 2^1/3 sondern ln(3/2).

Vielen Dank für deine Hilfe!

11.01.2017, 10:26

HAL 9000

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Anscheinend hast du die innere Ableitung gemäß Kettenregel vergessen:

$\begin{align*} f(x) = \ln\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\right) = \ln\left( \frac{x+1}{2} \right) \end{align*}$ .

Erste Ableitung: $\begin{align*} f'(x) = \frac{1}{ \frac{x+1}{2} } \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{x+1} \end{align*}$

Zweite Ableitung: $\begin{align*} f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} \end{align*}$ usw.

Zitat:

Original von fineF
Und ich hatte mich vekuckt, nicht 2^1/3 sondern ln(3/2).

Da geht es dann aber nicht um $\begin{align*} f(1.5) \end{align*}$ , sondern um $\begin{align*} f(2) \end{align*}$ .

11.01.2017, 12:17

FineF

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Habs!

X-1/2 - 1/8(x-1)^2+ 1/24(x-1)^3

smile

den ln(3\2) habe ich auch näherungsweise bestimmen können.

Wie geht es nun weiter?

Mit:

(f""(x)* epsilon\ 4! ) * (x-1)^4

Was ist den x? Und was epsilon?

11.01.2017, 12:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von FineF
Mit:

(f""(x)* epsilon\ 4! ) * (x-1)^4

Was ist den x? Und was epsilon?

Eine derartige Restglieddarstellung kenne ich nicht. Vielleicht meinst du ja das Lagrange-Restglied

$\begin{eqnarray*} \frac{f''''(x_0+(x-x_0)\cdot \varepsilon)}{4!}\cdot (x-x_0)^4 = \frac{f''''(1+(x-1)\cdot \varepsilon)}{4!}\cdot (x-1)^4 \end{eqnarray*}$ ,

was so zu lesen ist: "Zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ existiert (!) ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon\in (0,1) \end{eqnarray*}$ , so dass das Restglied in dieser Weise dargestellt werden kann."

Wie groß $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ genau ist, geht daraus nicht hervor. Eine Restgliedabschätzung fußt i.a. also nur auf der Information $\begin{eqnarray*} \varepsilon\in (0,1) \end{eqnarray*}$ . Man versucht also eine obere Schranke für das Restglied bzw. dessen Betrag zu finden, in der kein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ mehr auftaucht.

25.04.2017, 16:09

PhysicsJohn

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Was wäre die obere Schranke in diesem Fall? Mit x=1 würde das Epsilon ja wegfallen... Ist das hier gemeint? Und was passiert wenn x_0 = 0 ist?

25.04.2017, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von PhysicsJohn
Mit x=1 würde das Epsilon ja wegfallen... Ist das hier gemeint?

Nein! $\begin{align*} x \end{align*}$ ist die Stelle, an der du die Funktion berechnen willst. Die kannst du nicht einfach so wählen, wie es dir gerade gefällt, sondern die ist vorgegeben, hier anscheinend $\begin{align*} x=1.5 \end{align*}$ .

Meistens kann man nutzen, dass die entsprechende Ableitung monoton ist (manchmal auch nur stückweise monoton). Wie sieht das hier bei $\begin{align*} f'''' \end{align*}$ aus?

Zitat:

Original von PhysicsJohn
Und was passiert wenn x_0 = 0 ist?

Dann hast du hier andere Koeffizienten in der Taylorformel, aber Darstellung $\begin{eqnarray*} \frac{f''''(x_0+(x-x_0)\cdot \varepsilon)}{4!}\cdot (x-x_0)^4 \end{eqnarray*}$ für das Restglied vierter Ordnung gilt weiterhin, nur eben mit anderem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

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