Lösung von modulo Gleichungen

10.01.2017, 19:13

Stanzal

Lösung von modulo Gleichungen

Meine Frage:
Ich habe Gleichungen wie
6^X = 4 mod 11 oder
2^X = 7 mod 11
Gegeben
Wie berechne ich dieses x?

Und wie erstelle ich einen Funktionsgrapfen für die Index Funktion mir der Basis 7?

Meine Ideen:
Grundsätzlich wäre meine Idee mit einem Index zu arbeiten
Also ind6(7) beispielsweise
Aber ich weiß nicht wie ich einen Idex mit dem Taschenrechner berechnen soll oder wie ich das modulo mit einbeziehe.

Bei der Darstellung des Funktionsgraphen habe ich an Geogebra gedacht weiß aber nicht wie ich die Funktion eingebe

10.01.2017, 19:25

HAL 9000

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Nun, es wäre hilfreich, wenn du bereits eine Indextabelle $\begin{align*} \operatorname{ind}_g(k) \end{align*}$ für $\begin{align*} k=2,\ldots,10 \end{align*}$ bezüglich einer Primitivwurzel $\begin{align*} g\bmod 11 \end{align*}$ vorliegen hättest ... ansonsten würde ich erstmal eine solche aufstellen, die kannst du dann für beide Aufgaben verwenden.

Zitat:

Original von Stanzal
Und wie erstelle ich einen Funktionsgrapfen für die Index Funktion mir der Basis 7?

Ups, hatte ich ganz überlesen, du sollst also wohl genau das machen für $\begin{eqnarray*} g=7 \end{eqnarray*}$ .

Na berechne einfach $\begin{eqnarray*} f(k):=7^k\bmod 11 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,9 \end{eqnarray*}$ . Falls 7 Primitivwurzel modulo 11 ist (hab ich jetzt nicht überprüft, aber ich gehe mal davon aus), dann wird dadurch jeder Wert $\begin{eqnarray*} 1,2,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ jeweils genau einmal angenommen, d.h., $\begin{eqnarray*} f:\{0,1,\ldots,9\}\to \{1,2,\ldots,10\} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv. Die Umkehrfunktion ist dann die gesuchte Indextabelle.

10.01.2017, 19:35

Stanzal

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nun, es wäre hilfreich, wenn du bereits eine Indextabelle $\begin{align*} \operatorname{ind}_g(k) \end{align*}$ für $\begin{align*} k=2,\ldots,10 \end{align*}$ bezüglich einer Primitivwurzel $\begin{align*} g\bmod 11 \end{align*}$ vorliegen hättest ... ansonsten würde ich erstmal eine solche aufstellen, die kannst du dann für beide Aufgaben verwenden.

Ich kenne mich mit dem Thema leider nicht aus.
Mache das für ein W-Seminar Referat und habe nur paar Buchseiten kopiert bekommen. Habe somit keinerlei Vorkenntnisse.
Ist diese Index Funktion auf dem Taschenrechner zu finden? Habe einen von Casio auf dem ich nichts dazu finden konnte..

Irgendwo steht ich könne sowas mit dem euklidischen Algorithmus lösen.. hilft mir nur leider nicht viel.
Den rest hab ich durch ausprobieren gelöst nur da fehlt leider der Lösungsweg.

10.01.2017, 19:39

HAL 9000

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Siehe Edit.

Diese Indexfunktion ist auch unter dem Begriff diskreter Logarithmus bekannt.

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