Vektorraum einer Menge von Funktionen

11.01.2017, 13:55

Simeon16

Vektorraum einer Menge von Funktionen

Meine Frage:
Hallo zusammen
Kann mir jemand bei diese Aufgabe helfen?

Meine Ideen:
a) Wie zeige ich in so einem Fall das dies ein Vektorraum ist? Die Funktionsmenge, speziell die Teilintervalle verwirren mich. Auf einem Intervall kann ich mir das noch vorstellen, da die Polynome Grad < 2 haben, sind sie von der Form: $\begin{eqnarray*} a, bx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Aber wie zeige ich, das dies über alle Intervalle gilt?
b) Ist dies nicht einfach die Einheitsmatrix?

11.01.2017, 15:21

klarsoweit

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RE: Vektorraum einer Menge von Funktionen

Zitat:

Original von Simeon16
da die Polynome Grad < 2 haben, sind sie von der Form: $\begin{eqnarray*} a, bx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Was du da sagen willst, müßtest du noch etwas erläutern.

Zitat:

Original von Simeon16
Aber wie zeige ich, das dies über alle Intervalle gilt?

Verstehe jetzt die Frage nicht. Du mußt doch zeigen, daß M ein Vektorraum ist bzw. ein Unterraum des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V := C_{[x_0; x_n]} \end{eqnarray*}$ . Welche Bedingungen muß M dazu erfüllen?

11.01.2017, 15:44

Simeon16

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RE: Vektorraum einer Menge von Funktionen
...da die Polynome Grad < 2 haben, sind sie von der Form: $\begin{eqnarray*} a, bx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , soll heissen sie sind konstant oder linear auf jedem Teilintervall sind. Ist meine Annahme diesbezüglich korrekt?
Ich muss zeigen das M ein Vektorraum (https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum) ist, aber die Intervalle verwirren mich. Auf einem einzigen Teilintervall sind die Axiome erfüllt, unter der Annahme von oben, stimmt das?
Meine Frage ist nun, wie zeige ich das für alle Teilintervalle und somit für die ganze Menge M? Irgendwelche Ansätze?

11.01.2017, 19:48

Elvis

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1. Denke noch einmal darüber nach, was ein Polynom vom Grad 0 oder 1 ist.
2. Die fragliche Menge ist eine Teilmenge des Vektorraums C[x0,xn]. Wende also das UVR-Kriterium an.

12.01.2017, 08:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elvis
1. Denke noch einmal darüber nach, was ein Polynom vom Grad 0 oder 1 ist.

@Simeon16: hier liegt doch der Knackpunkt der ganzen Geschichte. Du mußt dir erst mal klar werden, wie die Funktionen prinzipiell aussehen, mit denen du es hier zu tun hast. Was du dir dazu bislang ausgedacht hast, ist unvollständig.

12.01.2017, 09:19

Simeon16

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Zitat:

Original von Elvis
1. Denke noch einmal darüber nach, was ein Polynom vom Grad 0 oder 1 ist.

z.b. sind 3x+4, x Polynome von Grad 1.

Zitat:

Original von Elvis
2. Die fragliche Menge ist eine Teilmenge des Vektorraums C[x0,xn]. Wende also das UVR-Kriterium an.

Sei $\begin{eqnarray*} a,b \in M \end{eqnarray*}$ und von der Form: $\begin{eqnarray*} a=tx+s, b= ix + j \end{eqnarray*}$ dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a+b \in M \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} a+b = (tx+s) + (ix+j)= (t+i)x +(s+j)= kx + c \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=t+i, c=s+j \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ uu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \alpha a \in M \end{eqnarray*}$ gilt, also $\begin{eqnarray*} \alpha a = \alpha (tx + s)= \alpha t x + \alpha s = wx+ z \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=\alpha t, z = \alpha s \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?
Wie gehe ich am besten bei Aufgabe b) vor? Schon mal ein grosses Dankeschön im Voraus.

12.01.2017, 09:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Simeon16
Sei $\begin{eqnarray*} a,b \in M \end{eqnarray*}$ und von der Form: $\begin{eqnarray*} a=tx+s, b= ix + j \end{eqnarray*}$ dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a+b \in M \end{eqnarray*}$ also: $\begin{eqnarray*} a+b = (tx+s) + (ix+j)= (t+i)x +(s+j)= kx + c \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k=t+i, c=s+j \end{eqnarray*}$

Formal korrekt muß es so lauten:
Seien $\begin{eqnarray*} f, g \in M \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es t_i, s_i, m_i und n_i mit $\begin{eqnarray*} f = t_ix+s_i, g = m_ix + n_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [x_{i-1}; x_i] \end{eqnarray*}$ . Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f+g \in M \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Simeon16
Wie gehe ich am besten bei Aufgabe b) vor?

Was ist denn üblicherweise für lineare Unabhängigkeit zu zeigen?

12.01.2017, 09:30

Elvis

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Die Beispiele für Polynome genügen nicht, es geht vielmehr um stückweise Polynome, die an den Intervallgrenzen dieselben Werte annehmen. Das UVR Kriterium fordert auch noch eine nichtleere Menge.

12.01.2017, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Elvis
Die Beispiele für Polynome genügen nicht, es geht vielmehr um stückweise Polynome, die an den Intervallgrenzen dieselben Werte annehmen.

Stimmt. Das kommt noch obendrein hinzu. Freude

12.01.2017, 09:33

Simeon16

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@klarsoweit
@ Elvis
Ja das stimmt, das ist auch mein Problem, ich stelle mir die Funktionen so vor: Auf jedem Teilintervall sind die Funktionen linear oder konstant. Also z.b. auf dem Intervall [0;1] hat die Funktion die Form f(x)=x und auf dem Intervall [1:2] ist z.b. f(x)=1, auf [2:3] gilt f(x)=3x+1 usw.

Stelle mich das richtig vor oder bin ich total auf dem falschen Weg?

12.01.2017, 10:11

Simeon16

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Zitat:

Original von klarsoweit
Formal korrekt muß es so lauten:
Seien $\begin{eqnarray*} f, g \in M \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es t_i, s_i, m_i und n_i mit $\begin{eqnarray*} f = t_ix+s_i, g = m_ix + n_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [x_{i-1}; x_i] \end{eqnarray*}$ . Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f+g \in M \end{eqnarray*}$ ist.

Okay das ist mir soweit klar(siehe zweitletzten Post von mir). Nun wie kommt das mit denn stückweisen Polynomen zusammen, damit das immer gilt und somit ein UVR ist. Hinzu kommt das wie bereits erwähnt von @Elvise der UVR ein nichtleere Menge sein muss, die Frage hier, nur wie zeigen? verwirrt

Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist denn üblicherweise für lineare Unabhängigkeit zu zeigen?

Das zum Bespiel die Matrix vollen Rang hat oder wenn $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0 \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung besitzt.

12.01.2017, 11:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Simeon16
ich stelle mir die Funktionen so vor: Auf jedem Teilintervall sind die Funktionen linear oder konstant. Also z.b. auf dem Intervall [0;1] hat die Funktion die Form f(x)=x und auf dem Intervall [1:2] ist z.b. f(x)=1, auf [2:3] gilt f(x)=3x+1 usw.

Stelle mich das richtig vor oder bin ich total auf dem falschen Weg?

Eine Kleinigkeit fehlt noch: bei deinem Beispiel hat die Funktion f an der Stelle x_2 = 2 einen Sprung. Die Funktion f ist aber auf dem kompletten Intervall [x_0; x_n] stetig. smile

Zitat:

Original von Simeon16
Nun wie kommt das mit denn stückweisen Polynomen zusammen, damit das immer gilt und somit ein UVR ist.

Da muß man ein bißchen Schreibarbeit machen. Anschaulich ist das eigentlich klar.

Zitat:

Original von Simeon16
Hinzu kommt das wie bereits erwähnt von @Elvise der UVR ein nichtleere Menge sein muss, die Frage hier, nur wie zeigen? verwirrt

Nun ja, üblicherweise zeigt man, daß der Nullvektor in dem UVR enthalten ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Simeon16

Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist denn üblicherweise für lineare Unabhängigkeit zu zeigen?

Das zum Bespiel die Matrix vollen Rang hat oder wenn $\begin{eqnarray*} a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=0 \end{eqnarray*}$ nur die triviale Lösung besitzt.

OK. Das mußt jetzt nur auf die Funktionen f_i anwenden. smile

12.01.2017, 13:40

Elvis

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@Simeon16
Nachdem Du verstanden hast, welche Funktionen zur Menge M gehören, kannst Du diese Menge auch noch anders beschreiben. Sie besteht offenbar genau aus den Funktionen $\begin{eqnarray*} f=f_{y_0,...,y_n} \end{eqnarray*}$ , für die gilt $\begin{eqnarray*} f(x_i)=y_i \end{eqnarray*}$ , und die die Punkte $\begin{eqnarray*} (x_i,y_i) \end{eqnarray*}$ geradlinig miteinander verbinden. Identifiziere die Funktionen mit ihren Punkttupeln und beweise die Behauptungen a) und b) für diese Menge von Punkttupeln.

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