[Zahlentheorie] Teilbarkeit beweisen

11.01.2017, 15:03

diego09

[Zahlentheorie] Teilbarkeit beweisen

Hi,

ich habe Probleme bei folgender Aufgabe und evtl ist hier jemand so nett und hilft mir ein wenig auf die Sprünge.

Aufgabe:

Zeigen Sie (m, n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ )
a) Wenn 100m + n durch 7 teilbar ist, dann ist auch m + 4n durch 7 teilbar.

Mein erster Ansatz war es das Ganze anhand der Teilbarkeitsregeln $\begin{eqnarray*} a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(b+c) \wedge a|(b*c) \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} 7|100m+n \wedge 7|m+4n \Rightarrow 7|100m+n+m+4n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (101m+5n) \ mod \ 7 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (3m+5m) \ mod \ 7 = 0 \end{eqnarray*}$

Und hier geht's dann irgendwie nicht weiter. Wenn ich den Multiplikationsfall ausprobiere, kommt folgendes raus

$\begin{eqnarray*} (2m^{2}+2nm+4^{2}) \ mod \ 7 = 0 \end{eqnarray*}$

Bringt mich auch nicht weiter oder?

Vielleicht hat ja jemand einen anderen Ansatz für mich, den ich mal ausprobieren kann.

Danke und Gruß
Diego

Edit: Da hab ich mich so konzentriert und bin doch im falschen Bereich gelandet. Bitte einmal Richtung Hochschulmathe-->Sonstiges verschieben. Sorry

11.01.2017, 15:07

HAL 9000

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Trivial ist doch folgende Aussage für alle ganzen Zahlen $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ :

Zitat:

Ist $\begin{align*} a \end{align*}$ durch $\begin{align*} c \end{align*}$ teilbar, so ist auch $\begin{align*} a\cdot b \end{align*}$ durch $\begin{align*} c \end{align*}$ teilbar.

Und mehr braucht es hier nicht, mit $\begin{align*} a=100m+n,b=4,c=7 \end{align*}$ , denn es ist $\begin{align*} 4(100m+n) = 400m+4n = 7\cdot 57m + (m+4n) \end{align*}$ .

11.01.2017, 15:19

diego09

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Ok, da hab ich mal wieder zu kompliziert gedacht :P

Vielen Dank für deine superschnelle Hilfe!

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