Bilinearform

11.01.2017, 15:26	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&25&-15\\-2&-15&29\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zeige dass die Bilinearform $\begin{eqnarray} b(x,y)=x^TAy \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ symmtrisch und positiv definit ist. Nun, ich habe das durchaus gekonnt jedoch relativ umständlich, indem ich einfach zwei Vektoren nahm und das wirklich durchrechnete. Aber es geht doch sicher auch einfacher, ohen explizit was zu rechnen, nicht? Da ich keine Lösung habe, würde ich gerne wissen, wie ihr z.B. die Symmetrie zeigen würdet, also: Beh: $\begin{eqnarray} b(u,v)=b(v,u) \text{für} u,v \in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Bew: Ich hätte jetzt halt echt mit $\begin{eqnarray} v=(v_1,v_2,v_3), u=(u_1,u_2,u_3) \end{eqnarray}$ durchgerechnet. Ginge das auch einfacher?
11.01.2017, 16:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bilinearform Es gilt für alle rellen Zahlen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \lambda = \lambda^T \end{eqnarray}$ . Skalare stören sich also nicht ums Transponieren. Dann ist $\begin{eqnarray} b(u,v) = b(u,v)^T = ( u^T A v)^T = ... \end{eqnarray}$ .
11.01.2017, 17:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die positive Definitheit betrifft, ein Hinweis: Man muss nicht notwendig die drei Eigenwerte der Matrix konkret ausrechnen um zu erkennen, dass sie positiv sind - man kann es auch direkt der kubischen Eigenwertgleichung ansehen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »