Distributionen (Fundamentallösung)

11.01.2017, 21:04	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributionen (Fundamentallösung) Guten Abend, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt. Sei $\begin{eqnarray} \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2} \end{eqnarray}$ der Laplace Operator im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wir zeigen, dass die Distribution $\begin{eqnarray} \Phi(x)= \frac{1}{2\pi} \log\|x\| \end{eqnarray}$ eine Fundamentallösung des Laplace-Operators $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray} < \Delta \Phi,\varphi >=\varphi (0) \quad \forall \varphi \in \mathbb S(\mathbb R^2) \end{eqnarray}$ Aufgaben 1) Sei $\begin{eqnarray} r=\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} f=f(r) \end{eqnarray}$ eine radiale Funktion. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} <br /> \Delta f=\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)\right)\ .<br /> \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \Delta f = \partial ^2 _x f(r) + \partial^2_y f(r) = \partial_x (\frac{df(r)}{dr}\frac{\partial r}{\partial x}) + \partial_y (\frac{df(r)}{dr}\frac{\partial r}{\partial y}) = \\ =\frac{d^2f(r)}{dr^2}(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}) + \frac{df(r)}{dr}(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}) = \\ \frac{d^2f(r)}{dr^2} ( \frac{y^2}{r^3} + \frac{x^2}{r^3}) + \frac{df(r)}{dr}(\frac{y^2}{r^3} + \frac{x^2}{r^3}) = 1/r \frac{d^2f(r)}{dr^2} + 1/r \frac{df(r)}{dr} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis stimmt aber nicht mit dem obigen überein. Wenn ich die gesuchte Gleichung ausschreibe steht vor dem $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} \end{eqnarray}$ kein 1/r. 2.Aufgabe) Benutzten Sie (1) für die Funktion $\begin{eqnarray} f(r)=\log r \end{eqnarray}$ um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} <\Delta (\log\sqrt{x_1^2+x_2^2}),\varphi>=2\pi\varphi (0) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} <\Delta (\log\sqrt{x_1^2+x_2^2}),\varphi> = \int_{0}^{2\varphi}d\varphi \int_{0}^{+\infty} dr r [(\frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial log(r)}{\partial r}\right)\right)) \cdot \varphi(r)] \end{eqnarray}$ Wenn ich log(r) eine ableite kommt 1/r raus. Wenn ich dies dann mit r multipliziere kommt 1 raus und dessen Ableitung ist 0. So das insgesammt null rauskommt. Oder sehe ich da was falsch Für eure Hilfe wäre ich echt dankbar
12.01.2017, 04:11	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast dich beim zweiten Differenzieren irgendwie verwurstelt. In der zweiten Zeile müsste der erste Summand $\begin{align} \frac{\dd^2 f(r)}{\dd r^2}\left(\left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)^2\right) \end{align}$ sein und nicht $\begin{align} \frac{\dd^2 f(r)}{\dd r^2}\left(\frac{\partial^2 r}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 r}{\partial y^2}\right) \end{align}$ , also nicht die Summe der zweiten Ableitungen, sondern die Summe der Quadrate der ersten Ableitung. Wenn du das berichtigst und ausrechnest, kommt das richtige heraus. Dass $\begin{align} \Delta \Phi \end{align}$ überall außer im Ursprung verschwindet, ist übrigens klar, weil $\begin{align} \Phi \end{align}$ lokal der Realteil einer holomorphen Funktion ist, nämlich einem skalierten Zweig des Logarithmus. Damit muss $\begin{align} \Phi \end{align}$ harmonisch sein. Dein Denkfehler ist der folgende. Die Distribution $\begin{align} \Delta \Phi \end{align}$ ist nicht einach die durch die fast überall definierte Funktion $\begin{align} \Delta \Phi \end{align}$ gegebene Distribution. Es handelt sich um die distributionelle Ableitung der durch die Funktion $\begin{align} \Phi \end{align}$ gegebenen Distribution. Vergleichbar: Wenn $\begin{align} H \end{align}$ die Heavisidefunktion ist, so ist $\begin{align} H \end{align}$ fast überall differenzierbar mit Ableitung null. Die distributionelle Ableitung ist aber nicht Null, sondern die Delta-Distribution. Man muss also streng nach Definition der distributionellen Ableitung vorgehen. Zu zeigen ist also, dass $\begin{align} \int_{\mathbb R^2}\Phi\Delta\varphi = \varphi(0) \end{align}$ für alle $\begin{align} \varphi\in\mathcal S(\mathbb R^2) \end{align}$ . Da weiß ich allerdings auf Anhieb auch nicht, wie das am einfachsten geht.
12.01.2017, 19:09	Heisenberg93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. zu 2) Ich habe dein Integral übernommen und es in Polarkoordinaten aufgeschrieben. Bei Aufgabentypen dieser Form, habe ich eigentlich immer Partiell integriert bis meine Testfunktion im Integral ohne Ableitung steht. Durch die Verketteten Ableitungen bin ich mir aber jetzt nicht sicher wie ich das ganze machen soll

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »