Bruchgleichungssystem mit drei Unbekannten

11.01.2017, 21:50

egrath

Bruchgleichungssystem mit drei Unbekannten

Hallo,

könnte mir jemand bitte einen Tipp geben wie ich folgendes Bruchgleichungssystem händisch lösen kann - drei Unbekannte, drei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 400=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 300=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 200=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3} \end{eqnarray*}$

Irgendwie steh ich komplett am Schlauch wie ich es schaffe das ganze in ein lineares Gleichungssystem überzuführen damit ich es dann mit den herkömmlichen Methoden lösen kann.

Danke und Grüße,
Egon

11.01.2017, 22:14

outSchool

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RE: Bruchgleichungssystem mit drei Unbekannten
Hallo Egon,

da der Nenner in allen 3 Gleichungen identisch ist, würde ich zuerst mal $\begin{align*} R_{ges} := R_1+R_2+R_3 \end{align*}$ setzen und dann den Nenner auf der rechten Seite eliminieren.

12.01.2017, 08:18

egrath

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Hallo,

soweit so gut, das hab ich jetzt mal gemacht.

$\begin{eqnarray*} I_1: 400\cdot R_{ges}=R1 \cdot (R2+R3) II_1: 300 \cdot R_{ges}=R2\cdot (R1+R3) III_1: 200\cdot R_{ges}=R3\cdot (R1+R2) \end{eqnarray*}$

Anschließend durch Elimination $\begin{eqnarray*} R_{ges} \end{eqnarray*}$ weggebracht. Dann sieht das System so aus:

$\begin{eqnarray*} I_2&:& 3\cdot R_1\cdot R_2-3\cdot R_1\cdot R_3-6\cdot R_2\cdot R_3=0 II_2&:& 3\cdot R_1\cdot R_3-4\cdot R_2\cdot R_3-R_1\cdot R_2=0 III_2&:& 2\cdot R_1\cdot R_2-3\cdot R_1\cdot R_3-R_2\cdot R_3=0 \end{eqnarray*}$

Wie könnte ich nun weitermachen?

Viele Grüße,
Egon

12.01.2017, 09:13

outSchool

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Hallo Egon,

Zitat:

Original von egrath
Hallo,

soweit so gut, das hab ich jetzt mal gemacht.

$\begin{eqnarray*} I_1: 400\cdot R_{ges}=R1 \cdot (R2+R3) II_1: 300 \cdot R_{ges}=R2\cdot (R1+R3) III_1: 200\cdot R_{ges}=R3\cdot (R1+R2) \end{eqnarray*}$

Anschließend durch Elimination $\begin{eqnarray*} R_{ges} \end{eqnarray*}$ weggebracht. Dann sieht das System so aus:

Wie könnte ich nun weitermachen?

Viele Grüße,
Egon

$\begin{align*} R_{ges} \end{align*}$ sollte nur auf die linke Seite gebracht werden, wie von dir durchgeführt.

Jetzt die rechte Seite ausmultiplizieren und das zugehörige lineare Gleichungssystem aufstellen.

12.01.2017, 09:43

HAL 9000

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Vielleicht solltest du noch erläutern, dass du mit "linear" nicht meinst bezüglich der Variablen $\begin{align*} R_1,R_2,R_3 \end{align*}$ , sondern ... Hat schließlich nicht jeder deinen "Blick". Augenzwinkern

Und außerdem liegt diese Lösung dann natürlich (zunächst) nur in Abhängigkeit von $\begin{align*} R_{ges} \end{align*}$ vor. Was aber in der Folge behoben werden kann.

12.01.2017, 09:59

outSchool

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@HAL: Danke für den Hinweis.

Die Koeffizienten des LGS sind dann $\begin{align*} R_1R_2 . . . \end{align*}$
Im darauf folgenden Schritt fällt dann $\begin{align*} R_{ges} \end{align*}$ weg.

12.01.2017, 11:30

egrath

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Hallo,
irgendwie raff ich es nicht. Könnte es mir jemand bitte durchrechnen wenn möglich?
Danke,
Egon

12.01.2017, 12:11

outSchool

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Hallo Egon,

ich gebe dir mal den nächsten Schritt an, komplett durchrechnen machen wir hier nicht.

Ausmultiplizieren:
$\begin{align*} I_1: R_1R_2 + R_1R_3 = 400R_{ges} \end{align*}$
$\begin{align*} I_2: R_1R_2 + R_2R_3 = 300R_{ges} \end{align*}$
$\begin{align*} I_3: R_1R_3 + R_2R_3 = 200R_{ges} \end{align*}$

LGS aufstellen:
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} R_1R_2 \\ R_1R_3 \\ R_2R_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 400R_{ges} \\ 300R_{ges} \\ 200R_{ges} \end{pmatrix} \end{align*}$

Löse bitte das LGS und poste dein Ergebnis für $\begin{align*} R_1R_2, R_1R_3 und R_2R_3 \end{align*}$ .

12.01.2017, 13:28

HAL 9000

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Interessanter Aspekt: Löst man das gleich für (in weiten Grenzen) allgemeinere Parameterlage

$\begin{align*} a=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

$\begin{align*} b=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

$\begin{align*} c=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

mit gegebenen $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ , dann tauchen in der Lösungsfindung Strukturen auf, wie man sie von der Dreiecksgeometrie her kennt: Damit meine ich Faktoren $\begin{align*} (s-a),(s-b),(s-c) \end{align*}$ , wobei man $\begin{align*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{align*}$ setzt. Und die Endformeln sehen auch sehr schön "rund" aus. Augenzwinkern

12.01.2017, 14:40

egrath

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Hallo,

so, das hab ich jetzt mal gelöst:

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 250 \\ 0 & 1 & 0 & 150 \\ 0 & 0 & 1 & 50 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} R_1\cdot R_2=250\cdot R_{ges} R_1\cdot R_3=150\cdot R_{ges} R_2\cdot R_3=50\cdot R_{ges} \end{eqnarray*}$

Bitte um den nächsten Tipp :-)

Grüße,
Egon

12.01.2017, 15:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von egrath
Bitte um den nächsten Tipp :-)

Es ist $\begin{align*} R_1^2 = \frac{(R_1\cdot R_2)\cdot (R_1\cdot R_3)}{(R_2\cdot R_3)} \end{align*}$ .

12.01.2017, 16:34

outSchool

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Zitat:

Original von egrath

$\begin{eqnarray*} R_1\cdot R_2=250\cdot R_{ges} R_1\cdot R_3=150\cdot R_{ges} R_2\cdot R_3=50\cdot R_{ges} \end{eqnarray*}$

Bitte um den nächsten Tipp :-)

Grüße,
Egon

Ich würde in der Gleichung
$\begin{align*} R_1R_2=250R_{ges}=250(R_1+R_2+R_3) \end{align*}$
$\begin{align*} R_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} R_2 \end{align*}$ durch $\begin{align*} R_3 \end{align*}$ ersetzen,
und zwar:

$\begin{align*} \frac{R_1R_2}{R_1R_3} = \frac{250R_{ges}}{150R_{ges}} \Leftrightarrow R_2 = \frac{5}{3} R_3 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{R_1R_2}{R_2R_3} = \frac{250R_{ges}}{50R_{ges}} \Leftrightarrow R_1 = 5 R_3 \end{align*}$

@HAL: Ich muss jetzt weg, wenn du willst, kannst du übernehmen.

12.01.2017, 16:42

HAL 9000

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Auch eine gute Idee. Bei meinem Vorgehen bleibt man in den Formeln bzgl. $\begin{align*} R_1,R_2,R_3 \end{align*}$ zunächst symmetrisch, dafür wirst du das $\begin{align*} R_{ges} \end{align*}$ etwas eher los. Für die konkrete Zahlenrechnung ist letzteres wohl der schnellere Weg.

16.01.2017, 11:45

egrath

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Hallo,

danke für eure Hilfe - jetzt hab ich's hinbekommen :-)

Untenstehend mein kompletter Lösungsweg, allerdings mit anderen Koeffizenten und a,b,c anstelle von R1,R2,R3 da ich mir Schreibarbeit sparen wollte beim rumprobieren:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:
54:

250=(a*(b+c))/(a+b+c)
450=(b*(a+c))/(a+b+c)
400=(c*(a+b))/(a+b+c)

substitution u=(a+b+c)

250u=ab+ac
450u=ab+bc
400u=ac+bc

aufstellen der koeffizienenmatrix

| 1 1 0 |   | ab |   | 250u |
| 1 0 1 | * | ac | = | 450u |
| 0 1 1 |   | bc |   | 400u |

reduktion und auf stufenform bringen

1 0 0 150u
0 1 0 100u
0 0 1 300u

also:

I:   ab = 150u
II:  ac = 100u
III: bc = 300u       

in I drücken wir nun a und b durch c aus und rechnen c aus:

ab/ac=150u/100u => b=(3/2)c
ab/bc=150u/300u => a=(1/2)c

I':    (1/2)c*(3/2)c=150u
       (1/2)c*(3/2)c=150((1/2)c+(3/2)c+c)
       
       => c=600

Einsetzen von c in II und ausrechnen:
       
II':    a*600=100*(a+(3/2)600+600)

       => a=300
       
Einsetzen von a,c in III und ausrechnen:

III':  b*600=300*(300+b+600)
       
       => b=900

a=300
b=900
c=600

Nochmals vielen Dank, dadurch dass Ihr mir nicht gleich die Lösung gegeben habt sondern ich selbst viel nachdenken und nachvollziehen musste hab ich wieder was gelernt :-)

Grüße,
Egon

16.01.2017, 16:15

HAL 9000

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Nun, meine Idee zu obigem

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} a=\frac{R_1\cdot (R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

$\begin{align*} b=\frac{R_2\cdot (R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

$\begin{align*} c=\frac{R_3\cdot (R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3} \end{align*}$

war die folgende: Mit $\begin{align*} R=R_1+R_2+R_3 \end{align*}$ bekommen wir das System

$\begin{align*} aR &= R_1(R_2+R_3)\\ bR &= R_2(R_1+R_3)\\ cR &= R_3(R_1+R_2) \end{align*}$ .

Setzen wir $\begin{align*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} A=s-a,B=s-b,C=s-c \end{align*}$ , so bekommen wir das Zwischenresultat

$\begin{align*} AR = R_2R_3,\quad BR = R_1R_3,\quad CR &= R_1R_2 \end{align*}$

und darauf aufbauend über $\begin{align*} R_1^2 = \frac{(R_1R_2)\cdot (R_1R_3)}{(R_2R_3)} \end{align*}$ u.ä. dann

$\begin{align*} \frac{BC}{A}R = R_1^2,\quad \frac{AC}{B}R = R_2^2,\quad \frac{AB}{C}R = R_3^2 \end{align*}$ .

Wurzelziehen in allen drei Gleichungen und Summation liefert

$\begin{align*} R &= \sqrt{ABCR}\left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right)\\ R &= ABC\left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right)^2 \end{align*}$

Mit Abkürzung $\begin{align*} Q=ABC\left( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right) = AB+AC+BC \end{align*}$ folgt dann $\begin{align*} R = \frac{Q^2}{ABC} \end{align*}$ und oben eingesetzt dann

$\begin{align*} R_1 = \frac{Q}{A},\quad R_2 = \frac{Q}{B},\quad R_3 = \frac{Q}{C} \end{align*}$ .

Für dein neues Zahlenbeispiel $\begin{align*} a=250,b=450,c=400 \end{align*}$ ist dann $\begin{align*} s=550,A=300,B=100,C=150 \end{align*}$ , in der Folge $\begin{align*} Q=90000 \end{align*}$ und

$\begin{align*} R_1 = \frac{Q}{A} = 300,\quad R_2 = \frac{Q}{B} = 900,\quad R_3 = \frac{Q}{C} = 600 \end{align*}$ ,

also deine Werte. Sind etwas mehr Gleichungen als beim anderen Weg, wobei es aber in jedem Block praktisch dreimal "dieselbe" Gleichung nur mit vertauschten Rollen von a,b,c ist. Augenzwinkern

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