Potenzreihe und Taylor Reihe Unterschied

12.01.2017, 01:04

Harnalysis

Potenzreihe und Taylor Reihe Unterschied

Meine Frage:
Hallo, beim Durchsehen alter Klausuren habe ich die Begriffe Taylorreihe und Potenzreihe getrennt voneinander verwendet gesehen. Wo ist der Unterschied?

Meine Ideen:
Grundsätzlich weiss ich dass eine Taylorreihe aus f^n(x0)/n!*(x-x0)^n besteht. Kann ich bei einer Potenzreihe ebenfalls einfach die n-te Ableitung bilden und dann einsetzen. Einmal stand in der Aufgabenstellung, dass man das als Unendliche Summe mit Summenzeichen angeben soll...

12.01.2017, 04:41

Dopap

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eine Potenzreihe ist der Oberbegriff von Taylorreihe, McLaurinreihe...
Auch Polynome mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und endlichen vielen Koeffizienten die $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind gehören dazu.

viele Funktionen haben ein Potenzreihenentwicklung mit bestimmten Konvergenzradius.

viele Funktionen kann man auch so definieren.

Taylorreihen sind von Funktionen abgeleitet. Potenzreihen sind dagegen ganz Eigenständig.

12.01.2017, 13:17

Harnalysis

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Ok, also mal angenommen, die Aufgabe ist "Um x0=0 soll Potenzreihe für ln(x-11) entwickelt werden und als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden. Ich hätte da jetzt die ersten 3-4 Ableitungen gebildet, gesehen dass die erste
$\begin{eqnarray*} -1(11-x)x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist,
die zweite $\begin{eqnarray*} -1(11-x)x^{-2} \end{eqnarray*}$ ,
die dritte $\begin{eqnarray*} -2(11-x)x^{-3} \end{eqnarray*}$ und
die vierte $\begin{eqnarray*} -6(11-x)x^{-4} \end{eqnarray*}$ ist.

Anschließend $\begin{eqnarray*} a_{n}= -(n-1)! \end{eqnarray*}$ und das Potenzglied als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(11-x)x^{n}} \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Meine Potenzreihe wäre also am Ende $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = -(n-1)! \frac{1}{(11-x)x^{n}} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig? Big Laugh

12.01.2017, 13:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Harnalysis
Um x0=0 soll Potenzreihe für ln(x-11)

Und da ist schon der erste Stolperstein: In der nahen Umgebung von $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ist $\begin{align*} \ln(x-11) \end{align*}$ im reellen gar nicht definiert. Ich geh mal davon aus, dass du stattdessen $\begin{align*} \ln(11-x) \end{align*}$ meinst? verwirrt

Zitat:

Original von Harnalysis
Ich hätte da jetzt die ersten 3-4 Ableitungen gebildet, gesehen dass die erste
$\begin{eqnarray*} -1(11-x)x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist,
die zweite $\begin{eqnarray*} -1(11-x)x^{-2} \end{eqnarray*}$ ,
die dritte $\begin{eqnarray*} -2(11-x)x^{-3} \end{eqnarray*}$ und
die vierte $\begin{eqnarray*} -6(11-x)x^{-4} \end{eqnarray*}$ ist.

Komplett verkehrt. unglücklich

12.01.2017, 13:34

Harnalysis

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hehehe ups, ja - ln(11-x) ist selbstverständlich gemeint Augenzwinkern

12.01.2017, 15:09

Harnalysis

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Aber wie geht es denn jetzt? Bei Taylor muss ich doch zuerst auch die n-te Ableitung bilden? Wieso geht das hier nicht?

12.01.2017, 15:12

HAL 9000

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Deine Ableitungen sind schlicht falsch. Die erste Ableitung von $\begin{align*} f(x)=\ln(11-x) \end{align*}$ ist

$\begin{align*} f'(x)=\frac{1}{11-x}\cdot (-1) = \frac{1}{x-11} \end{align*}$ ,

die zweite $\begin{align*} f''(x)=-\frac{1}{(x-11)^2} \end{align*}$ usw.

EDIT: Ah Ok, jetzt raffe ich erst, was das oben sollte: Du hast überall ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ stehen lassen und damit den mathematischen Inhalt komplett geändert. D.h., eigentlich meintest du

Zitat:

die erste $\begin{eqnarray*} -1(11-x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist,
die zweite $\begin{eqnarray*} -1(11-x)^{-2} \end{eqnarray*}$ ,
die dritte $\begin{eqnarray*} -2(11-x)^{-3} \end{eqnarray*}$ und
die vierte $\begin{eqnarray*} -6(11-x)^{-4} \end{eqnarray*}$

12.01.2017, 22:38

Harnalysis

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Das heißt, ich setze einfach direkt x0=0 in die Ableitungen ein? Falls ja, verstehe ich den Unterschied zu einer Taylor Reihe noch nicht so richtig... Ich bin grad ein wenig verwirrt

13.01.2017, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Harnalysis
Falls ja, verstehe ich den Unterschied zu einer Taylor Reihe noch nicht so richtig...

Das vorliegende Beispiel ist nicht gerade geeignet, diesen Unterschied zu erkennen. Dazu muss man etwas weiter ausholen:

Ist eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ unendlich oft differenzierbar, dann kannst du sie dort in eine Taylorreihe entwickeln, also

$\begin{align*} T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x-x_0)^n \end{align*}$ ,

diese Reihe möge den Konvergenzradius $\begin{align*} R \end{align*}$ besitzen.

Damit ist aber nicht automatisch klar, dass die Funktion $\begin{align*} f(x) \end{align*}$ für $\begin{align*} |x-x_0|<R \end{align*}$ in eine Potenzreihe entwickelbar ist, d.h., dass $\begin{align*} T(x)=f(x) \end{align*}$ für diese $\begin{align*} x \end{align*}$ gilt. Es gilt nur die Aussage:

Zitat:

Wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ in eine Potenzreihe im Punkt $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ entwickelbar ist, dann ist es tatsächlich die Taylorreihe.

Ein Gegenbeispiel, wo zwar die Taylorreihe existiert, aber keine die Funktion repräsentierende Potenzreihe ist:

$\begin{align*} f(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; x=0\\ \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$ .

Dieses $\begin{align*} f \end{align*}$ ist im Nullpunkt unendlich oft differenzierbar, alle Ableitungswerte dort sind gleich Null. Die zugehörige Taylorreihe im Punkt $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ ist demnach

$\begin{align*} T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{0}{n!}\cdot x^n = 0 \end{align*}$

mit Konvergenzradius $\begin{align*} R=\infty \end{align*}$ , dennoch ist aber offenkundig $\begin{align*} T(x)\neq f(x) \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\neq 0 \end{align*}$ .

Eine sichere Erkenntnis darüber, wann eine Taylorreihe tatsächlich die Funktion repräsentiert, kann die Taylorformel leisten:

Salopp gesagt ist das ja die "abgebrochene" Taylorreihe plus Restglied, also $\begin{align*} f(x) = T_n(x) + R_{n+1}(x) \end{align*}$ . Kann man nun für das Restglied die Konvergenz $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} R_{n+1}(x) = 0 \end{align*}$ nachweisen, so folgt automatisch $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} T_n(x) = f(x) \end{align*}$ , und $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} T_n(x) \end{align*}$ ist definitionsgemäß nichts anderes als $\begin{align*} T(x) \end{align*}$ . Im Gegenbeispiel oben ist genau jenes $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} R_{n+1}(x) = 0 \end{align*}$ nicht erfüllt.

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