Erweitern der Eigenvektoren

12.01.2017, 10:01

Perry

Erweitern der Eigenvektoren

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Verständnisfrage:

Seien $\begin{eqnarray*} \alpha_{1},...,\alpha_{n+1} \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \alpha_{i} \neq 0 , i=1,...,n+1 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} A[i,j] = \begin{cases} 4 & i=j \\ <br /> \frac{\alpha_{i}}{\alpha_{j}} + \frac{\alpha_{j}}{\alpha_{i}} & i \neq j \end{cases}\quad i,j = 1,...n+1 \end{eqnarray*}$

Das Lemma wünscht gewisse Eigenwertwerte, die hier nicht wichtig sind.
Aus dem Beweis:
Seien $\begin{eqnarray*} M_{+} = (\alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n+1})^{t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{-} = (\alpha_{1}^{-1},\alpha_{2}^{-1},...,\alpha_{n+1}^{-1})^{t} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} A = 2I + N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N = M_{-} \cdot M_{+}^{t} + M_{+} \cdot M_{-}^{t} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
N hat 3 Eigenwerte. Einer ist, da Rang(N) = 2, 0 mit algebraischer Vielfachheit 1.
und nun kommt die Aussage, die ich nicht verstehe:

"By expanding the corresponding eigenvectors in the basis $\begin{eqnarray*} \{M_{+},M_{-}\} \end{eqnarray*}$ , it is elementary to see that the remaining two eigenvalues of $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ are eigenvalues of the matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 & \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k}^{2}\\ \sum\limits_{k=1}^{n+1} \alpha_{k}^{-2} & n+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "

Was genau meint "Erweitern die Eigenvektoren in der Basis ..."

Gruß, Perry

12.01.2017, 10:46

HAL 9000

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Rechnen wir doch einfach mal: Für einen Eigenvektor $\begin{align*} x \end{align*}$ zum Eigenwert $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} \lambda x = A\cdot x = 2x + t_1 M_- + t_2 M_+ \qquad (*) \end{align*}$

mit den Zahlen (!) $\begin{align*} t_1 = M_+^t\cdot x \end{align*}$ und $\begin{align*} t_2 = M_-^t\cdot x \end{align*}$ . Damit liegt $\begin{align*} x \end{align*}$ zwangsläufig in dem durch $\begin{align*} \{ M_+, M_-\} \end{align*}$ aufgespannten Teilraum, d.h. jeder Eigenvektor von $\begin{align*} A \end{align*}$ ist eine Linearkombination von $\begin{align*} M_+, M_- \end{align*}$ .

13.01.2017, 10:02

Perry

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Danke erstmal für deine Antwort.

Alles klar, das macht Sinn. Wobei ich mir jetzt den Fall

$\begin{eqnarray*} \lambda x = N x = t_{1}M_{-} + t_{2}M_{+} \end{eqnarray*}$ anschaue.

Mir ist ja durchaus die Richtung
Eigenwert habe ich -> also kann ich sofort die Eigenvektoren bestimmen.

Nun weiß ich ja wie die Eigenvektoren aussehen soll,
aber wie komm ich auf die 2x2 Matrix, mit der ich die Eigenwerte berechnen kann.

Weißt du das zufällig auch?

Gruß, Perry

13.01.2017, 11:31

HAL 9000

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Fassen wir die beiden Spaltenvektoren zur Matrix $\begin{align*} (M_-,M_+) \end{align*}$ zusammen, das ist also eine $\begin{align*} (n+1)\times 2 \end{align*}$ -Matrix, mit $\begin{align*} t=(t_1,t_2)^t \end{align*}$ kann man dann also

$\begin{align*} (\lambda-2)x = (M_-,M_+)\cdot t\qquad (*) \end{align*}$

schreiben. Nun ist aber (s.o.) $\begin{align*} t = \begin{pmatrix} M_+^t\\ M_-^t\end{pmatrix} \cdot x \end{align*}$ , multiplizieren wir also (*) von links mit $\begin{align*} \begin{pmatrix} M_+^t\\ M_-^t\end{pmatrix} \end{align*}$ , so ergibt sich

$\begin{align*} (\lambda-2)t = \begin{pmatrix} M_+^t\\ M_-^t\end{pmatrix}\cdot (M_-,M_+) \cdot t = M\cdot t \end{align*}$ mit $\begin{align*} 2\times 2 \end{align*}$ -Matrix $\begin{align*} M:= \begin{pmatrix} M_+^tM_- & M_+^tM_+\\ M_-^tM_- & M_-^tM_+\end{pmatrix} \end{align*}$ ,

d.h., $\begin{align*} t \end{align*}$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{align*} (\lambda-2) \end{align*}$ von $\begin{align*} M \end{align*}$ .

Nun noch die vier Elemente von $\begin{align*} M \end{align*}$ ausrechnen: $\begin{align*} M_+^tM_- = \sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k\alpha_k^{-1} = n+1 = M_-^tM_+ \end{align*}$ , $\begin{align*} M_+^tM_+ = \sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k^2 \end{align*}$ und $\begin{align*} M_-^tM_- = \sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k^{-2} \end{align*}$ , also ist $\begin{align*} M= \begin{pmatrix} n+1 & \sum\limits_{k=1}^{n+1}\alpha_k^2\\ \sum\limits_{k=1}^{n+1}\alpha_k^{-2} & n+1\end{pmatrix} \end{align*}$ .

Alles klar?

13.01.2017, 13:35

Perry

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Vielen lieben Dank für die ausführliche und sehr verständliche Erklärung.

Eines ist mir noch nicht klar, und zwar der erste Schritt.

Wieso schreibst du sofort $\begin{eqnarray*} (\lambda - 2)x \end{eqnarray*}$

Du schließt von der Größe der Matrix sofort auf den Eigenwert?

13.01.2017, 14:48

HAL 9000

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Nein, das hat nichts mit der Dimension zu tun. Ich beziehe mich hierauf:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} {\color{red}\lambda} x = A\cdot x = {\color{red}2}x + t_1 M_- + t_2 M_+ \qquad (*) \end{align*}$

und habe die $\begin{align*} 2x \end{align*}$ nur auf die linke Seite gebracht.

Nochmal rekapitulieren: Es besteht der Zusammenhang (siehe dein Text) $\begin{align*} A = 2I + N \end{align*}$ , damit haben $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} N \end{align*}$ dieselben Eigenvektoren, genauer folgt daraus:

Ist $\begin{align*} x \end{align*}$ Eigenvektor von $\begin{align*} A \end{align*}$ zum Eigenwert $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} x \end{align*}$ Eigenvektor von $\begin{align*} N \end{align*}$ zum Eigenwert $\begin{align*} (\lambda-2) \end{align*}$ .

Ich habe immer nur von Eigenwert $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ von $\begin{align*} A \end{align*}$ gesprochen, während in deinem Aufgabentext ganz unten dann von Eigenwerten von $\begin{align*} N \end{align*}$ die Rede ist. Der Zusammenhang sollte damit jetzt klar sein.

13.01.2017, 16:08

Perry

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Jetzt ist der Grosschen gefallen, Danke dir!

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