Summennotation

12.01.2017, 10:48

ilovemath

Summennotation

Meine Frage:
Hallo,

ich komme mit der Summennotation nicht wirklich zurecht? Kann mir bitte jemand aufschlüsseln wie ich da vorzugehen habe.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass es wie in den Teilaufgaben aussehen soll, also dass ich die einzelnen Menge summiere, dann den Schnitt von 2en und dann den Schnitt von dreien etc.
Aber aus der Notation ist es für mich nicht erkennbar.

12.01.2017, 15:49

IfindU

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RE: Summennotation
Nehmen wir mal $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist eine feste Zahl mit $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ . Dann heißt $\begin{eqnarray*} \sum_{i_k > i_{k-1} >\dots > i_1} \end{eqnarray*}$ , dass über alle Tupel mit der Eigenschaft summiert werden. Im Fall $\begin{eqnarray*} n = 4, k = 2 \end{eqnarray*}$ heißt das $\begin{eqnarray*} \sum_{i_2 > i_1} \end{eqnarray*}$ . Die Tupel, die das erfüllen sind $\begin{eqnarray*} ( 1, 2), (1, 3), (1,4), (2,3),(2,4), (3,4) \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ elementige, geordnete Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \{ 1, 2, \dots, n \} \end{eqnarray*}$ .

Schlussendlich ist dann
$\begin{eqnarray*} \sum_{ i_2 > i_1} | A_{i_2} \cap A_{i_1} | = | A_{1} \cap A_{2}| + | A_{1} \cap A_{3} | + | A_{1} \cap A_{4} | + | A_{2} \cap A_{3} | + |A_2 + A_4| + | A_{3} \cap A_{4} | \end{eqnarray*}$ .

13.01.2017, 09:19

ilovemath

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Summennotation
Danke für die Antwort.

irgendwie ist das mir nicht klar:
Woher nimmst du die Tupel?
Welche Eigenschaft ist gemeint?
Steht das k in der 1. Summe mit dem k in der 2. Summe nicht in Beziehung?
Und wie kommt man auf die Formel wenn n=2 bzw n=3 ist (siehe aufgabe a und b)?

13.01.2017, 10:18

HAL 9000

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RE: Summennotation

Zitat:

Original von ilovemath
Woher nimmst du die Tupel?

Es sind alle Tupel $\begin{align*} (i_1,i_2,\ldots,i_k) \end{align*}$ ganzzahliger Werte mit der Eigenschaft $\begin{align*} 1\leq i_1<i_2<\ldots<i_k\leq n \end{align*}$ gemeint.

In Worten: Es geht um alle Auswahlen von $\begin{align*} k \end{align*}$ Werten aus $\begin{align*} n \end{align*}$ , ohne Auswahlreihenfolge und ohne Zurücklegen (Lottomodell) - mathematisch als "Kombinationen mit Wiederholung" bezeichnet. D.h., die Anzahl solcher Tupel und damit die Anzahl der Summanden in dieser Summe ist gleich dem Binomialkoeffizienten $\begin{align*} \binom{n}{k} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von ilovemath
Steht das k in der 1. Summe mit dem k in der 2. Summe nicht in Beziehung?

Na klar steht es das: Es kennzeichnet schließlich die Anzahl der Indizes im Tupel $\begin{align*} (i_1,i_2,\ldots,i_k) \end{align*}$ .

Wie ich oben schon sagte: Für festes $\begin{align*} k \end{align*}$ hat man $\begin{align*} \binom{n}{k} \end{align*}$ Summanden, alles in allem also $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}-1 = 2^n-1 \end{align*}$ Summanden. De facto summiert man nämlich über alle Indexteilmengen von $\begin{align*} \{1,2,\ldots,n\} \end{align*}$ mit Ausnahme der leeren Menge.

Dementsprechend gibt es nämlich auch noch eine andere Darstellung für diese deine Formel:

$\begin{align*} \left| \bigcup_{i=1}^n A_i \right| = \sum_{\substack{I\subseteq\{1,\ldots,n\}\\ I\neq \emptyset}} (-1)^{|I|-1} \left| \bigcap_{i\in I} A_i \right| \end{align*}$

D.h., es wird über alle Teilmengen $\begin{align*} I \end{align*}$ von $\begin{align*} \{1,\ldots,n\} \end{align*}$ außer der leeren Menge summiert, die Mengendurchschnittsbildung ganz rechts erfolgt jeweils über die Mengen mit Index in $\begin{align*} I \end{align*}$ , und es ist $\begin{align*} |I| \end{align*}$ die Mächtigkeit von $\begin{align*} I \end{align*}$ (d.h. Anzahl der Elemente darin).

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