Abkühlvorgang

12.01.2017, 15:12

DerMaschbaustudent

Abkühlvorgang

Guten Tag. Die Aufgabe die ich habe lautet.

Aufgabe:

Eine Flasche Cola steht in der Sonne und hat zum Zeitpunkt t0=0 genau die Temperatur T0=49 °C. Zum Zeitpunkt t0=0 wird sie in die Gefriertruhe gestellt, die eine Temperatur von Tu=-16 °C hat.

Zum Zeitpunkt t1 wird bei der Colaflasche noch die Temperatur T1=31 °C gemessen.

Zum Zeitpunkt t2, der 31 Minuten nach dem Zeitpunkt t1 liegt, wird erneut die Temperatur gemessen; die Colaflasche hat zum Zeitpunkt t2 die Temperatur T2=10 °C.

Der Temperaturverlauf der Colaflasche kann durch die Funktion
$\begin{eqnarray*} T(t)==Tu+(T0-Tu)*e^{-k*t} \end{eqnarray*}$
mit einem Koeffizienten k>0 beschrieben werden.
(T0 und Tu sind oben im Text vorgegeben.)

Frage 1:
Wie lange war die Colaflasche bis zur Messung zum Zeitpunkte t1 in der Gefriertruhe?

Frage 2:
Wie lange muss die Colaflasche in der Gefriertruhe sein, damit sie auf 0°C abkühlt?

mein Ansatz für Frage 1: (für t1)
$\begin{eqnarray*} 31=-16 + (49- (-16)*e^{-k*t1} /+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 47=65*e^{-k*t1} /:65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 47/65=e^{-kt1} /ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,3242=-kt1 \end{eqnarray*}$

für t2= t1+31
$\begin{eqnarray*} 10=-16+ (31-(-16))*e^{-k*(t1+31)} /+16 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 26= 47*e^{-k*(t1+31)} /:47 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 26/47 =e^{-k*(t1+31)} /ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,5921= -k*(t1+31) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,5921= -k*t1-31k \end{eqnarray*}$

dann habe ich das gleichungssystem aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} -0,3242=-kt1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,5921= -k*t1-31k \end{eqnarray*}$

dann die untere von der oberen subtrahiert.
und nach k aufgelöst
$\begin{eqnarray*} k=0,0086 \end{eqnarray*}$

dann k eingesetzt und t1 und t2 errechnet:
Antwort 1:

t1=99,849min = 99min ; 51 sek = 1h; 39min; 51 sek

Antwort 2:

$\begin{eqnarray*} 0=-16+(10-(-16))*e^{-0,0086*t3} / +16 / :26 / ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(16/26)=-0,0086*t3 / : (-0,0086) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t3= 56,452 min = 56 min ; 27 sek \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Vorallem die Abkühlungszeiten kommen mir extrem realtitätsfern vor...

Danke für die Kontrolle der Aufgabe.

Der MAschbaustudent

12.01.2017, 15:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abkühlvorgang

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
dann die untere von der oberen subtrahiert.
und nach k aufgelöst
$\begin{eqnarray*} k=0,0086 \end{eqnarray*}$

Hm. Bis hier hast du mit 4 Stellen Genauigkeit gerechnet, jetzt nur noch mit 2. geschockt

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
dann k eingesetzt und t1 und t2 errechnet:
Antwort 1:

t1=99,849min = 99min ; 51 sek = 1h; 39min; 51 sek

Ich komme da auf 37,7 min.

Ich schiebe das mal in den Hochschulbereich.

12.01.2017, 15:41

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abkühlvorgang

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
für t2= t1+31
$\begin{eqnarray*} 10=-16+ (31-(-16))*e^{-k*(t1+31)} /+16 \end{eqnarray*}$

Vorsicht! Die Cola kühlt in dieser (gesamten) Zeitspanne nicht von 31 auf 10 runter, sondern von 49 auf 10.

Viele Grüße
Steffen

12.01.2017, 15:56

DerMaschbaustudent

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre es dann ja:

$\begin{eqnarray*} 10=-16+(49 -(-16))*e^{k*(t1+31)} /+16 / : (65) /ln \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -0,9163=-k*t1-31k \end{eqnarray*}$

Dann das Gleichungssystem:

-0,3242=-k*t1
-0,9163=-k*t1-31k

k=0,0191

Wenn man das dann verrechnet komme ich jetzt auf:
-0.3242=-0,0191*t1
t1=16,974min
und
t3=73,799min

t3 stimmt schonmal laut überprüfung; t1 aber nicht....

12.01.2017, 16:05

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Sieht doch alles gut aus:

12.01.2017, 16:10

DerMaschbaustudent

Auf diesen Beitrag antworten »

muss aber auf drei Nachkommastellen genau sein.

also muss irgendwo noch ein kleiner Fehler sein.....

ich komme genau auf t1=16,97382199min
gerundet auf die 3. Nachkommastelle sind es 16,794min.

12.01.2017, 16:15

DerMaschbaustudent

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe ist gelöst.

Hatte einen Zahlendreher drin:

t1=16,794
t3=73,393

An alle ein herzliches Danke sehr für eure Unterstützung.

Mit freundlichen Grüßen,

DerMaschbaustudent

Neue Frage »

Antworten »

Abkühlvorgang

Verwandte Themen