Mit Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung für alle n gilt:

12.01.2017, 16:59

Knightfire66

Mit Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung für alle n gilt:

Meine Frage:
[attach]43593[/attach]

ich habe die folgende Lösung von der Uni (Mitschrieb von jemandem) aber da sind einige Unklarheiten, die ich markiert habe:

[attach]43594[/attach]

Wieso, wenn man den Summanden (2n+1) vor die Summe zieht, multipliziert man es mit "n"?

Die sonstigen Umformungen und das Einsetzen der Induktionsvoraussetzung sind mir alle klar.

Pls help ich komm seit ner stunde nicht weiter.

Meine Ideen:
Keine Ahnung

wichtig ist die erste blaue Markierung wieso ist da -n²?

12.01.2017, 17:12

HAL 9000

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$\begin{align*} (2n+1) \end{align*}$ wird nicht vor die Summe gezogen, sondern es wird die Summe $\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1} (2n+1) \end{align*}$ von der großen Summe additiv abgespalten. Hierbei ist Summand $\begin{align*} (2n+1) \end{align*}$ vom Summationsindex $\begin{align*} k \end{align*}$ unabhängig, d.h., bzgl. $\begin{align*} k \end{align*}$ konstant. Summiert von $\begin{align*} k=0,1,\ldots,(n-1) \end{align*}$ enthält diese Summe genau $\begin{align*} n \end{align*}$ Summanden, und zwar jedesmal denselben. Damit ist der Summenwert $\begin{align*} \sum_{k=0}^{n-1} (2n+1) = n\cdot (2n+1) \end{align*}$ .

Und das andere: Summand $\begin{align*} (n+1)^2-i^2 \end{align*}$ hat nun mal für $\begin{align*} i=n \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} (n+1)^2-n^2 \end{align*}$ , das ist simples Einsetzen.

12.01.2017, 20:00

Knightfire66

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Das erste hab ich verstanden super danke dir...

zum zweiten habe ich noch paar fragen:

klar ich weiß "einfach einsetzen"...leichter gesagt als getan,
wieso ist es (n+1)² und -i²... wieso das eine n+1, weil man ja für n+1 schauen muss, induktion halt aber wieso das andere nicht -(n+1)²?

danke im vorraus

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

12.01.2017, 20:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Knightfire66
wieso ist es (n+1)² und -i²... wieso das eine n+1, weil man ja für n+1 schauen muss, induktion halt aber wieso das andere nicht -(n+1)²?

Du hast wohl überhaupt nicht kapiert, was da gemacht wird. unglücklich

Im Induktionsschritt $\begin{align*} n\to n+1 \end{align*}$ hast du eine Formel für $\begin{align*} \sum_{i=0}^{(n+1)-1} ((n+1)^2-i^2) = \sum_{i=0}^n ((n+1)^2-i^2) \end{align*}$ nachzuweisen. Dazu trennst du im ersten Schritt den letzten Summanden ab, und dieser letzte Summand ist eben $\begin{align*} ((n+1)^2-i^2) \end{align*}$ für $\begin{align*} i=n \end{align*}$ , was insgesamt

$\begin{align*} \sum_{i=0}^n ((n+1)^2-i^2) = \sum_{i=0}^{n-1} ((n+1)^2-i^2) ~+~ (n+1)^2-n^2 \end{align*}$

ergibt.

12.01.2017, 21:42

Knightfire66

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danke sher habs etwas verstanden aber ich sollte mir echt paar youtube videos reinziehen...

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Mit Induktion zeigen, dass die folgende Gleichung für alle n gilt:

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