Invarianzeigenschaft der Wellengleichung

12.01.2017, 20:45

lein_9193

Invarianzeigenschaft der Wellengleichung

Meine Frage:
Guten Abend!

Frage zu folgender Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} u(x,t) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der homogenen Wellengleichung $\begin{eqnarray*} u_{tt}-c^2 u_{xx} = 0. \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass dann auch $\begin{eqnarray*} u(x-a,t) \end{eqnarray*}$ eine Lösung der homogenen Wellengleichung ist für beliebige $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R}. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe dazu mal einen Lösungsansatz, weiß aber nicht, ob das so stimmt. Ich würde mal so anfangen:
Mit $\begin{eqnarray*} \xi = x-a,~s=t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \upsilon(\xi,s) = u(x-a,t). \end{eqnarray*}$
Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \upsilon(\xi,s) \end{eqnarray*}$ die Wellengleichung erfüllt, also $\begin{eqnarray*} \upsilon_{tt}-c^2 \upsilon_{xx} = 0 \end{eqnarray*}$
gilt.
Ich berechne mithilfe der Kettenregel die partiellen Ableitungen
$\begin{eqnarray*} \frac{d\upsilon}{dx}=\frac{du}{d\xi}\frac{d\xi}{dx}+ \frac{du}{ds}\frac{ds}{dx} = u_\xi \cdot 1+0, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{d\upsilon_x}{dx}=\frac{du_\xi}{d\xi}\frac{d\xi}{dx}+ \frac{du_\xi}{ds}\frac{ds}{dx} = u_{\xi\xi} \cdot 1+0 \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} \frac{d\upsilon}{dt}=u_s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d\upsilon_t}{dt}=u_{ss}. \end{eqnarray*}$

Nun einsetzen ergibt $\begin{eqnarray*} \upsilon_{tt}-c^2 \upsilon_{xx} = u_{ss}-c^2 u_{\xi\xi}. \end{eqnarray*}$

Ist nun $\begin{eqnarray*} u_{ss}-c^2 u_{\xi\xi} = 0, \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ eine Lösung der Wellengleichung ist? $\begin{eqnarray*} u_{ss} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{\xi\xi} \end{eqnarray*}$ hängt zum Schluss dann von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ab, also z. B. $\begin{eqnarray*} u_{ss}(\xi,s) \end{eqnarray*}$ ?

12.01.2017, 23:29

Hausmann

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RE: Invarianzeigenschaft der Wellengleichung
Ich denke, daß mit $\begin{eqnarray*} \upsilon_{tt}-c^2 \upsilon_{xx} = u_{ss}-c^2 u_{\xi\xi} \end{eqnarray*}$ die (physikfremde) Frage erledigt ist.

Physikalische Konsequenz für ebene Wellen (Periodizität, c) übrigens

$\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0\rightarrow \left(\frac{\partial}{\partial t}-c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)f=0 \end{align*}$
$\begin{align*} \xi :=t- \frac xc{,}\ \eta:=t+\frac xc\rightarrow t=\frac 12 (\eta+\xi){,}\ x=\frac 12 (\eta -\xi) \end{align*}$
$\begin{align*} \frac {\partial}{\partial \xi} =\frac 12 \left(\frac{\partial}{\partial t}-x\frac{\partial}{\partial x}\right){,}\ \frac {\partial}{\partial \eta} =\frac 12 \left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\Rightarrow \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{\partial^2 f}{\partial \xi \partial \eta}=0\rightarrow f=f_1(\xi)+f_2(\eta)=f_1\left(t-\frac xc\right)+f_2\left(t+\frac xc\right) \end{align*}$
$\begin{align*} f_1{,}\ f_2 \end{align*}$ beliebig (Rechts- u. Linkswelle), z.B. $\begin{align*} f_2=0\rightarrow f=f\left(t-\frac xc \right) \end{align*}$

13.01.2017, 08:38

lein_9193

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RE: Invarianzeigenschaft der Wellengleichung

Zitat:

Original von Hausmann
Ich denke, daß mit $\begin{eqnarray*} \upsilon_{tt}-c^2 \upsilon_{xx} = u_{ss}-c^2 u_{\xi\xi} \end{eqnarray*}$ die (physikfremde) Frage erledigt ist.

Hab vielen Dank!

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