Lösungsmenge aus LGS ablesen

13.01.2017, 10:54

Lars7

Lösungsmenge aus LGS ablesen

Meine Frage:
Guten Tag zusammen,

ich habe ein LGS und soll dieses lösen. Nachdem ich es mit dem Gauss-Verfahren vereinfacht habe erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} 2x+y-3z=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3y+3z+2w=3 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich davon ausgehend die Lösungsmenge angeben.

Meine Ideen:
Ich weiss leider nur, dass diese die Form $\begin{eqnarray*} \vec{u}+\lambda \vec{v} \end{eqnarray*}$ hat. Leider aber nicht wirklich wie man die bestimmt...

Wäre für ein paar Tipps sehr dankbar

13.01.2017, 11:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge aus LGS ablesen
Üblicherweise wird in dem Gauss-Verfahren auch beschrieben, wie man nun zu den Lösungen kommt.

Nun denn: wenn du die Gleichungen von links nach rechts durchgehst, dann ist jeweils die erste vorkommende Variable eine "nicht frei wählbare" Variable (hier also x und y). Alle anderen Variablen sind frei wählbar. Für die allgemeine Lösung des homogenen Systems gehst du nun wie folgt vor:
Setze eine frei wählbare Variable = 1, die anderen gleich Null und löse die Gleichungen auf.
Dieses Spiel wiederholst du mit jeder frei wählbaren Variable.
Die sich ergebenden Lösungsvektoren bilden eine Basis für die Lösungsmenge des homogenen Systems.

Zur Bestimmung einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems setzt du alle frei wählbaren Variable gleich Null und löst dann auf. Viel Glück. smile

13.01.2017, 11:39

Lars7

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge aus LGS ablesen

Zitat:

Üblicherweise wird in dem Gauss-Verfahren auch beschrieben, wie man nun zu den Lösungen kommt.

Das habe ich versucht, leider bekomme ich es nicht hin Matrizen zu schreiben. Wenn ich es mit einer pmatrix-Umgebung versuche, kommt immer ein Fehler (ich bekomme im Allgemeinen keine Umgebungen hin, align usw). Wäre froh wenn du mir das auch noch schnell zeigen könntest, da ich das wohl sicher früher oder später noch brauchen werde.

Also dann versuche ich es gleich mal:
Sei $\begin{eqnarray*} z=0, w=1 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} 3y+3z+2w=3 \Rightarrow 3y+2=3 \Rightarrow y=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in Gl. 1 ergibt sich somit $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} z=1, w=0 \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} x=2, y=0 \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} z=0, w=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=0, y=1 \end{eqnarray*}$

Und wieder das Problem mit der Umgebung... Ich schreib es einfach mal in der Form hin: $\begin{eqnarray*} (0,1,0,0)^T + \lambda (2,0,1,0)^T + \mu (1/3,1/3,0,1)^T \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

13.01.2017, 12:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge aus LGS ablesen
Es tut mir fürchterlich leid. traurig

Ich habe leider vergessen zu sagen, daß du für die Lösung des homogenen Systems die rechte Seite gleich Null setzen mußt. Du mußt also die beiden ersten Schritte nochmal mit Null auf der rechten Seite wiederholen. Hammer

Und so geht eine Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 3 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.01.2017, 14:51

Lars7

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge aus LGS ablesen
Nun nicht deine Schuld, hätte ich etwas mitgedacht so hätte es eigentlich bei homogen klingeln müssen.^^

Auf ein neues:

$\begin{eqnarray*} z=0, w=1 \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} 3y+3z+2w=0 \Rightarrow 3y+2=0 \Rightarrow y=\frac{-2}{3} \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=1, w=0 \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} x=2, y=0 \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} z=0, w=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x=0, y=1 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich für die Lösung:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix}\begin{array}{c} 0 \\1\\0\\0 \end{array} \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}\begin{array}{c} 1/3 \\-2/3\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix}\begin{array}{c} 2 \\0\\1\\0 \end{array} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

So ich hoffe das stimmt so.^^

Ich hätte dann aber auch gleich eine zweite Frage, bzw. mehr ob man bei so einem Fall auch wie oben vorgehen kann.

Sei folgendes LGS gegeben und gesucht sei die Lösung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 2-3a & 1-a \\ 0 & a & 1-3a & -a \\ -2 & -2a & a^2+2a-1 & -a^2+3a -2 \end{array} \end{pmatrix}{\overset{\text{Gauss}}{\Leftrightarrow}}\begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1-3a & -a \\ 0 & 0 & a^2-4a+3 & -a^2+a\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & a & 1-3a & -a \\ 0 & 0 & (a-1)(a-3) & (-a+1)a\end{array} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Kann ich nun genau wie oben vorgehen um die Lösungsmenge zu bestimmen?

13.01.2017, 15:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge aus LGS ablesen

Zitat:

Original von Lars7
$\begin{eqnarray*} z=1, w=0 \end{eqnarray*}$ . Es ergibt sich $\begin{eqnarray*} x=2, y=0 \end{eqnarray*}$

Diesen Fall mußt du mit rechter Seite = Null ebenfalls nochmal durchrechnen. smile

Zitat:

Original von Lars7
Kann ich nun genau wie oben vorgehen um die Lösungsmenge zu bestimmen?

Im Prinzip ja, aber du mußt natürlich bestimmte Fälle beachten bzw. separat behandeln, z. B.: a=0 oder nicht oder (a-1)*(a-3) = 0 oder nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Lösungsmenge aus LGS ablesen

Verwandte Themen