Archimedisches Axiom

13.01.2017, 10:03	Einstein1879	Auf diesen Beitrag antworten »
Archimedisches Axiom Moin, das Archimedische Axiom lautet in einer weiteren Variante wie folgt: Zu jeder positiven, reellen Zahl $\begin{eqnarray} b>0 \end{eqnarray}$ existiert eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Element der natürlichen Zahlen, so dass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}<b \end{eqnarray}$ . Beweis: Für eine beliebige positive reelle Zahl $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ positiv, da sonst $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \leq 0 \end{eqnarray}$ wäre und wegen $\begin{eqnarray} a \cdot b>0 \end{eqnarray}$ gelten würde das $\begin{eqnarray} 1=b \cdot b^{-1} \leq b \cdot 0=0 \end{eqnarray}$ . Mit Hilfe des Archimedischen Axioms wird eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gewählt mit $\begin{eqnarray} n-\frac{1}{b}>0 \end{eqnarray}$ . Durch Multiplikation mit den positiven Zahlen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ folgt daraus die gewünschte Ungleichung $\begin{eqnarray} b-\frac{1}{n}>0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{n}<b \end{eqnarray}$ . Ich habe Verständnisprobleme den obigen Beweis, entnommen aus meinem Analysis Skript nachzuvollziehen.
13.01.2017, 10:42	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Archimedisches Axiom Eine Sache fehlt mir in dem Beweis. Es müsste heißen: $\begin{align} a>0\land b>0\Rightarrow ab >0 \end{align}$ . Nur einfach $\begin{align} b>0\Rightarrow ab >0 \end{align}$ zu konstatieren ist falsch. Aber sonst sehe ich keine Unstimmigkeit. Wo genau hapert's denn?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »