Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?

13.01.2017, 12:07

muphys

Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?

Hallo zusammen!

Die Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{C}^3 \end{eqnarray*}$ . Sind die Vektoren
$\begin{eqnarray*} <br /> v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 2i \\ 0 \\ i \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1+i \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ linear abhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Sind sie linear abhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?

Meine Idee:
Ansatz eins:
Wir stellen ein homogenes lineares Gleichungssystem auf und wählen unsere Skalaren/Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ entweder aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , oder aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ und bestimmen so die lineare (Un)-Abhängigkeit über beide Körper.

Ansatz zwei:
Wenn wir die lineare Abhängigkeit von diesen drei Vektoren bestimmen wollen, könnten wir diese Vektoren in eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ schreiben & die Determinante dieser Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bestimmen. Ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{det}(A)=0 \end{eqnarray*}$ , wissen wir, dass die Spalten, bzw. die Zeilen der Matrix linear abhängig sind und somit auch diese drei Vektoren linear abhängig sein müssen, andernfalls sind sie es nicht.

Meine Frage:
Wenn ich Ansatz zwei wähle und die Determinante der Matrix bestimme, woher weiss ich dann, über welchen Körper ich die lineare (Un)-Abhängigkeit der Spalten, bzw. der Zeilen, bestummen habe? Ich habe ja quasi nirgends vorausgesetzt, aus welchem Körper meine Skalaren/Koeffizienten kommen, oder doch?
Wäre sehr dankbar für eine Antwort auf diese Verständnisfrage! verwirrt

Cheerio
Muphys Wink

13.01.2017, 13:12

Elvis

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Ansatz 0: Bestimme den Rang der Matrix mit dem Gauss-Algorithmus mit reellen bzw. komplexen Elementarmatrizen.

Führe alle 3 Ansätze durch und denke hinterher darüber nach.

13.01.2017, 19:28

RavenOnJ

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RE: Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?

Zitat:

Original von muphys
woher weiss ich dann, über welchen Körper ich die lineare (Un)-Abhängigkeit der Spalten, bzw. der Zeilen, bestummen habe? Ich habe ja quasi nirgends vorausgesetzt, aus welchem Körper meine Skalaren/Koeffizienten kommen, oder doch?

Da steht doch: "linear abhängig über $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ oder $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ "
Du hast also deinen Körper.

Anderer Tipp: Betrachte mal die 1. und 3. Komponente der Vektoren. Können diese Vektoren damit überhaupt linear abhängig sein?

14.01.2017, 12:24

muphys

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RE: Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Da steht doch: "linear abhängig über $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ oder $\begin{align*} \mathbb C \end{align*}$ "
Du hast also deinen Körper.

Hi RavenOnJ

Vielen Dank für deine Antwort! Freude

Vielleicht habe ich meine Frage falsch formuliert verwirrt

, ich versuche es hier nochmal:
Ich frage mich ausschliesslich, über welchem Körper ich die lineare (Un)-Abhängigkeit bestimme, wenn ich die Determinante der Matrix ausrechne.
Also mal angenommen ich möchte die Aufgabe lösen, indem ich die Determinante der entstandenen Matrix ausrechne und sehe, dass sie Null ist. Woher weiss ich nun, über welchem Körper die Spalten/Zeilen linear abhängig sind? $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?

Gilt denn allgemein:

$\begin{eqnarray*} A \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) \wedge \mathrm{det}(A)=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Spalten/Zeilen linear abhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ?

Danke schon im Voraus Tanzen

14.01.2017, 14:44

Elvis

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A ist invertierbar gdw det(A) ungleich 0 gdw Rang(A)=n

Die Determinante entscheidet alles, also ist es egal ob man von einem Körper zu einem Teilkoerper oder zu einem Erweiterungskoerper übergeht.

15.01.2017, 07:14

Elvis

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Nachdem ich nochmals darüber nachgedacht habe, stelle ich fest, dass das falsch ist. Beim Übergang zu einem Teilkoerper können l.a. Vektoren l.u. werden. Die Determinante weiß also nicht alles, und Du musst rechnen (vgl. meine erste Antwort).

15.01.2017, 10:05

10001000Nick1

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RE: Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?

Zitat:

Original von muphys
Gilt denn allgemein:

$\begin{eqnarray*} A \in M_{n \times n}(\mathbb{K}) \wedge \mathrm{det}(A)=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Spalten/Zeilen linear abhängig über $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das ist richtig. (Es gilt auch die Umkehrung.) D.h. mithilfe der Determinante von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2i & 1 \\ i & 0 & 1+i \\ 1 & i & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kannst du bestimmen, ob die Vektoren über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ linear (un-)abhängig sind.

Über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sieht es etwas anders aus: $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ hat als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum Dimension 6.
Wenn du da den Weg über die Determinante gehen willst, musst du deine Vektoren als Vektoren mit 6 Einträgen schreiben, die jeweils Real-/Imaginärteil der ursprünglichen Vektoren enthalten.

Z.B. wird $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+0i \\ 0+i \\ 1+0i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . (Das ist die übliche Identifizierung zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^6 \end{eqnarray*}$ .)

Wenn du diese drei Vektoren jetzt als Spalten einer Matrix schreibst, hast du aber das Problem, dass du keine quadratische Matrix erhältst, du also keine Determinante berechnen kannst.
Hättest du aber z.B. 6 Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ , würdest du mit diesem Vorgehen eine $\begin{eqnarray*} 6\times 6 \end{eqnarray*}$ -Matrix erhalten und könntest die Vektoren mithilfe der Determinante auf lineare (Un-)Abhängigkeit über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ überprüfen.

16.01.2017, 15:48

muphys

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RE: Lineare Abhängigkeit - über welchem Körper?
Danke euch allen für die ausführlichen Antworten! Freude

Für mich hat sich das jetzt geklärt! Wink

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