Beweis der Unstetigkeit mit Epsilon-Delta-Kriterium

13.01.2017, 20:18	Lilalu20	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Unstetigkeit mit Epsilon-Delta-Kriterium Meine Frage: Beweisen Sie, dass f an der Stelle p=0 unstetig ist mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriterium. $\begin{eqnarray} f(x) = \left\{ sin(\frac{1}{x}) falls x\neq 0 , 0 falls x= 0 \right. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich den Punkt einsetzen soll, da x unter dem Bruch steht und somit nicht 0 sein darf
13.01.2017, 21:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst auch nicht $\begin{align} x=0 \end{align}$ in $\begin{align} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{align}$ einsetzen. Stattdessen ist dafür doch ein spezieller Funktionswert vorgegeben den du verwenden kannst.
15.01.2017, 11:57	Lilalu20	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt es steht dann so? $\begin{eqnarray} \| sin(\frac{1}{x} - 0 \| \end{eqnarray}$ Und wie mache ich dann weiter?
15.01.2017, 13:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun musst du zeigen, dass nicht für jedes $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ ein $\begin{align} \delta >0 \end{align}$ existiert... Konkret: du willst widerlegen, dass die Funktion in Null stetig ist. Wenn du nun für ein ganz konkretes $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ nachweisen kannst, dass egal für welches $\begin{align} \delta \end{align}$ die Ungleichung $\begin{align} \left\|\sin\left(\frac{1}{x}\right)-0\right\|=\left\|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right\|\leq\varepsilon \end{align}$ nicht für alle $\begin{align} \|x-x_0\|=\|x-0\|=\|x\|\leq\delta \end{align}$ gültig ist, dann kann die Funktion nicht stetig sein. Ich würde $\begin{align} \varepsilon=\frac{1}{2} \end{align}$ empfehlen, wobei es mit jeder beliebige Zahl kleiner als $\begin{align} 1 \end{align}$ klappen wird (warum ist die Wahl von $\begin{align} \varepsilon\geq 1 \end{align}$ nicht sinnvoll?).
20.01.2017, 20:12	Lilalu20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah super, vielen Dank, jetzt verstehe ich es besser. Aber die frage mit dem Epsilon, kann ich die leider nicht beantworten,da weiß ich nicht weiter.
21.01.2017, 09:07	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Frage meinst du? Hast du ein passendes Delta bereits gefunden und geht es dir noch um die Frage mit größer/gleich 1?
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21.01.2017, 10:47	Mathe<3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leute ich beschäftige mich auch mit dieser Aufgabe. Wir hätten doch den Gegenbeweis gefunden wenn wir für $\begin{eqnarray} \delta := \frac{2}{\pi} \end{eqnarray}$ wählen, denn damit wäre doch $\begin{eqnarray} \| sin(\frac{1}{\frac{2}{\pi} }) \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \| sin(\frac{\pi}{2} ) \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 > \frac{1}{2} = \epsilon \end{eqnarray}$ würde das stimmen ? Die Wahl von $\begin{eqnarray} \epsilon >= 1 \end{eqnarray}$ ist nicht sinvoll da die Sinus funktion beschärnkt ist nach oben bei 1 also wäre die Rechte seite immer größer
21.01.2017, 10:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist gut, aber nur $\begin{align} \delta=\frac{2}{\pi} \end{align}$ zu setzen reicht nicht. Im Zweifel behaupte ich einfach, dein $\begin{align} \delta \end{align}$ ist zu groß, wenn wir ein kleineres nehmen dann klappt das schon irgendwie. Und genau das muss eben widerlegt werden; egal wie klein man das $\begin{align} \delta \end{align}$ wählt, es wird immer $\begin{align} \|x\|<\delta \end{align}$ mit $\begin{align} \|\sin(x)\|>\frac{1}{2} \end{align}$ geben.

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