n-te Ableitung von exp(-1/x)

13.01.2017, 20:38

zinR

n-te Ableitung von exp(-1/x)

Hi,

ich stehe vor folgender Aufgabe:
Gegeben ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \exp(-1/x) \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist beliebig oft differenzierbar, und für die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Ableitung, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , gilt:
$\begin{eqnarray*} f^{(n)} (x) = p_n (\frac{1}{x}) e^{-1/x} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p_0(z) := 1, p_{n+1}(z) := z^2 (p_n(z) - p_n ' (z)) \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz ist eine vollständige Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Der Indunktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist klar, denn $\begin{eqnarray*} f(x) = \exp(-1/x) \cdot 1 = \exp(-1/x) \cdot p_0(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ .
Im Induktionsschritt gelange ich bis an die Stelle $\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)= e^{- \frac{1}{x}}(p_n '(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} p_n (\frac {1}{x})) \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr mir sagen, wo ich den Fehler mache? Damit mein Induktionsschritt funktioniert, wäre ja $\begin{eqnarray*} p_n ' (\frac{1}{x}) = - \frac{1}{x^2}p_n ' (\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ zu zeigen, was mir widersprüchlich erscheint.
Ich wäre dankbar, wenn ihr euch das anschauen und mir weiterhelfen würdet.

LG

13.01.2017, 20:45

HAL 9000

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Du hast vergessen, die Kettenregel anzuwenden: Richtig ist

$\begin{align*} \left[ p_n\left( \frac{1}{x} \right) \right]' = p_n'\left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left[ \frac{1}{x} \right]' = p_n'\left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) \end{align*}$ .

13.01.2017, 20:51

zinR

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Wahnsinn. Im Wissen, dass es nicht richtig sein kann, habe ich so oft drüber gesehen, und das nicht entdeckt..

Danke Dir!
Könntest Du mir abschließend verraten, wie der Latex-Code für ordentliche Klammern aussieht?

Edit: Nach einem Klick auf "Zitat" hat sich das wohl auch geklärt.

13.01.2017, 20:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von zinR
Könntest Du mir abschließend verraten, wie der Latex-Code für ordentliche Klammern aussieht?

Benutze den "Zitat"-Button, da siehst du alles.

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