Fourier Transformation

14.01.2017, 13:20

yellowman

Fourier Transformation

Hallo, ich habe folgende Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} g(x) = \begin{cases} 1-|x| & |x|\leq 1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich soll zeigen das gilt: $\begin{eqnarray*} \hat{g}(y)=\left(\frac{\sin(\pi y)}{\pi y}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee: Ich berechne folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi}\hat{g}(y)=FT[g(x)]=\int_{-1}^11-|x|e^{-iyx}dx=\int_{-1}^1e^{-iyx}dx-\int_{-1}^1|x|e^{-iyx}dx=\frac{1}{iy}[e^{iy}-e^{-iy}]-\int_{-1}^1|x|e^{-iyx}dx \end{eqnarray*}$

Betrachtung des Integrals:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1|x|e^{-iyx}dx=\int_{-1}^0-xe^{-iyx}dx+\int_0^1xe^{-iyx}dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht komplett verrechnet habe erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} =-\frac{1}{iy}e^{-iy}-\frac{1}{(iy)^2}e^{-iy}+\frac{1}{(iy)^2} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich auf die Gesamtlösung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2\pi}\hat{g}(x)=\frac{2}{(iy)^2}+\frac{1}{iy}[e^{iy}-e^{-iy}]-\frac{1}{(iy)^2}[e^{iy}-e^{-iy}] \end{eqnarray*}$

Ich hoffe mal das ich mich nicht verrechnet habe. Ich sehe allerdings noch nicht wie ich nun an die gegebene Form komme. Hat jemand eine Idee?

Danke!

15.01.2017, 10:35

yellowman

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Hat noch jemand eine Idee?

15.01.2017, 10:49

Huggy

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RE: Fourier Transformation
In deiner Rechnung stecken diverse Vorzeichenfehler. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 (1-|x|)e^{-ixy} dx=\int\limits_{-1}^1 e^{-ixy} dx+\int\limits_{-1}^0 xe^{-ixy} dx-\int\limits_0^1 xe^{-ixy} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 e^{-ixy} dx=\frac i y (e^{-iy}-e^{iy}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^0 xe^{-ixy} dx=\frac 1 {y^2}+\frac i y e^{iy}-\frac 1 {y^2}e^{iy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\int\limits_0^1 xe^{-ixy} dx=\frac 1 {y^2}- \frac i y e^{-iy}-\frac 1 {y^2}e^{-iy} \end{eqnarray*}$

Das ergibt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-1}^1 (1-|x|)e^{-ixy} dx=\frac {2-(e^{iy}+e^{-iy})}{y^2} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt auf die Exponentialterme die Eulerformel anwendet und

$\begin{eqnarray*} 1- \cos x = 2\sin^2 \frac x 2 \end{eqnarray*}$

beachtet, kommt man auf die Musterlösung, allerdings noch ohne die Faktoren $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ in Zähler und Nenner. Diese Faktoren ergeben sich bei einer leicht unterschiedlichen Definition der Fouriertransformation, die in der Signalverarbeitung gebräuchlich ist, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Tr...tion#Definition

15.01.2017, 11:41

yellowman

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RE: Fourier Transformation
Hallo Huggy, ich habe meine Vorzeichenfehler entdeckt und nun beseitigt. Ich komme dann ebenfalls wie du auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} \hat{g}(x)=\frac{2-(e^{iy}+e^{-iy})}{\sqrt{2\pi}y^2} \end{eqnarray*}$

Wie es mir scheint kommt allerdings im Zähler der Kosinus in's Spiel und nicht der Sinus da gilt:

$\begin{eqnarray*} \cos(y)=\frac{1}{2}(e^{iy}+e^{-iy}) \end{eqnarray*}$ ... Für den Sinus gilt: $\begin{eqnarray*} \sin(y)=\frac{1}{2i}(e^{iy}-e^{-iy}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ erweitere dann habe ich den Kosinus im Zähler und nicht den Sinus ...

Hat sich eventuell ein weiterer Vorzeichenfehler eingeschlichen bei $\begin{eqnarray*} e^{iy}+e^{-iy} \end{eqnarray*}$ ...?

Grüße!

15.01.2017, 11:50

Huggy

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RE: Fourier Transformation

Zitat:

Original von yellowman
Wie es mir scheint kommt allerdings im Zähler der Kosinus in's Spiel

Richtig, der dann wie von mir beschrieben in Sinus des halben Arguments umgewandelt werden kann. Durch Übergang zu der anderen Transformationsdefinition korrigieren sich dann abweichende Faktoren.

15.01.2017, 12:02

yellowman

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Ok, ich komme dann auf $\begin{eqnarray*} \hat{g}(x)=\frac{1-\cos(y)}{\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}y^2}=\frac{2\sin^2(y/2)}{\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}y^2}=\frac{4\sin^2(y/2)}{\sqrt{2\pi}y^2} \end{eqnarray*}$

Hast du hier noch etwas beachtet? Die Form sieht nämlich noch nicht so aus wie sie aussehen sollte...

Grüße!

15.01.2017, 20:42

Huggy

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Noch mal der Hinweis, dass offenbar eine leicht andere Definition der Fouriertransformation verwendet wird als die von dir verwendete.

15.01.2017, 22:42

yellowman

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RE: Fourier Transformation
Das ist wirklich komisch da wir in der Vorlesung genau diese benutzt haben mit der ich diese Aufgabe bearbeitet habe.

Wenn du allerdings auf das Gleiche Ergebnis kommst wie ich dann bringt es wohl nicht mehr viel darüber weiter zu philosophieren.

Grüße und Danke!

16.01.2017, 09:08

Huggy

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RE: Fourier Transformation
Habe die Ergebnisse zur Sicherheit mal von Mathematica prüfen lassen:

[attach]43646[/attach]

16.01.2017, 10:03

yellowman

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RE: Fourier Transformation
Ok, wie es ausschaut wurde in der ersten Eingabe mein Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} \hat{g}(x)=\frac{4\sin^2(y/2)}{\sqrt{2\pi}y^2} \end{eqnarray*}$
weiter vereinfacht?

Bei der Eingabe 4 wurde wohl eine andere Definition der Fourier Trafo benutzt?

Grüße und Danke!

16.01.2017, 11:11

IfindU

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RE: Fourier Transformation
@yellowman

Schau bitte noch einmal genau in den Unterlagen nach. Wurde die Fouriertransformation so für Funktionen von $\begin{eqnarray*} [ -1, 1] \end{eqnarray*}$ oder von Funktionen von $\begin{eqnarray*} [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ definiert.

16.01.2017, 11:23

yellowman

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RE: Fourier Transformation
Wir haben beide Definitionen besprochen ... So wie ich Huggy verstanden habe unterscheiden sich diese Definitionen aber nur um den Faktor also ob $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{eqnarray*}$ oder man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ benutzt.

Wenn ich die Definition der FT mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ benutze erhalte ich das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \hat{g}(x)=\frac{2\sin^2(y/2)}{\pi y^2} \end{eqnarray*}$

Allerdings ist das immer noch nicht die Darstellung die Mathematica ausgibt.

Grüße!

16.01.2017, 11:37

IfindU

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RE: Fourier Transformation
Edit: Tut mir Leid, es stimmt so. Aus irgendeinen Grund habe ich an die diskrete FT gedacht...

16.01.2017, 12:49

Huggy

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RE: Fourier Transformation

Zitat:

Original von yellowman
Ok, wie es ausschaut wurde in der ersten Eingabe mein Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} \hat{g}(x)=\frac{4\sin^2(y/2)}{\sqrt{2\pi}y^2} \end{eqnarray*}$
weiter vereinfacht?

Eher umgekehrt. Man kommt zunächst auf die Cosinusvariante, die man dann in einen Sinus umwandeln kann. Mathematica macht diese Umwandlung nicht automatisch.

Zitat:

Bei der Eingabe 4 wurde wohl eine andere Definition der Fourier Trafo benutzt?

Ja. Hier wurde folgende Definition benutzt:

$\begin{eqnarray*} FT[g(x)]=\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-2\pi i x y} dx \end{eqnarray*}$

Das Integral hat hier keinen Vorfaktor. Dafür steht im Exponenten im Integral zusätzlich ein Faktor $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ .

16.01.2017, 13:54

yellowman

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RE: Fourier Transformation
Ok, diese Definition habe ich noch nie gesehen. Gut zu wissen das es weitere gibt.
Ich denke damit kann der Thread auch dicht gemacht werden.

Vielen Dank und schöne Grüße!

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Fourier Transformation

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