Ist f(t) separabel?

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Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »
Ist f(t) separabel?
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema der Separabilität und wollte dazu mal folgendes Polynom anschauen:


Gegeben habe ich dafür mehrere Sätze aus unserem Skript:

(i) heißt separabel, wenn f im algebraischen Abschluss von K keine mehrfachen Nullstellen besitzt.

(ii) separabel Für jede Nullstelle von f im algebraischen Abschluss von K gilt Es gilt in K[t].

(iii) separabel und irreduzibel .


Meine Ideen:
Dazu habe ich mehrere Fragen:

1. Wenn ich (iii) benutzen möchte, reicht es wirklich das ist ?

2. Ich wollte auch die Irreduzibilität über Q überprüfen, dazu hatten wir noch einen Satz:
(iv) Sei K ein Körper und mit . Besitzt f keine Nullstellen in K, so ist f irreduzibel.
Also will ich schauen ob f Nullstellen in hat, da f(t) normiert ist prüfe ich nun ob für alle Teiler r von in gilt:


daraus kann ich doch nun folgern das f keine Nullstellen in Q hat und irred in Q ist oder?

3. Wie genau habe ich den algebraischen Abschluss von zu verstehen, also ich erweitere ja Q irgendwie um alle algebraischen Zahlen, wobei algebraische Zahlen gerade Reelle oder komplexe Nullstellen von Polynomen mit grad größer 0 sind. Heißt das für (i) nun das f keine Mehrfachen Nullstellen in Q, R oder C besitzen darf?
Und ist mit mehrfachen einfach nur gemeint, nicht mehr als eine oder wie is das genau zu verstehen?

Würde mich über jede Antwort/ jeden Tipp sehr freuen, da ich bei diesem Themen noch sehr wenig verstehe und dies gern ändern würde!

Grüße
Sally
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Polynom ist irreduzibel, also separabel nach (i)
Das Kriterium (iii) kommt mir seltsam vor, denn auch bei Polynomen mit mehrfachen Nullstellen verschwindet nicht die Ableitung.

Zu jedem Körper K gibt es einen algebraischen Abschluss. Er entsteht durch Adjunktion aller Nullstellen aller Polynome aus K[t]. Man muss sich den algebraischen Abschluss von Q nicht als Teilkoerper von C vorstellen (aber man kann, denn 2 algebraische Abschlüsse sind isomorph).
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort schonmal, aber mir war es eher wichtig zu wissen ob meine Argumentation auch richtig ist :/

Zusätzlich wäre auch noch interessant zu wissen, wenn ich das Polynom nun durch Reduktion der Koeffizienten modulu 3 auffasse über dem Körper :

Könnte ich dann hierraus einfach folgern das
somit reduzibel und somit nicht separabel oder ist dies noch zu wenig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch. Separable Polynome müssen nicht irreduzibel sein. Diese Begriffe sind unabhängig.
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde gern nochmal auf das ursprüngliche Polynom zurück kommen. Dieses ist irreduzibel und Sie sagten nach (i) sei dieses separabel. Ich wollte dies nun nochmal mit (ii) zeigen und habe dafür ggT(f, f') berechnet , welche aber nicht 1 ist und somit ist das Polynom nicht separabel nach (ii), wo ist jetzt mein Fehler, ich habe den ggT mehrmals nachgerechnet und bin mir sicher das dieser nicht 1 ist ... unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin sicher, dass der ggT(f,f')=1 ist. Was hast Du berechnet ? ( wir duzen uns Wink ).
 
 
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

ggT(f,f') =

Mittels Euklidischem Algorithmus, beginne mit Polynomdivision von:


dann:

dann:

und somit :


<- ggT(f,f')

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Alle rationalen Zahlen ausser 0 sind assoziiert, und der ggT ist immer nur bis auf Assoziierte bestimmt. ggT(f,f')=1 heißt nur, dass kein Polynom vom Grad größer als 0 f und f' teilt.
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das leider noch nicht so ganz verstanden verwirrt

Wenn ich das bei dem Polynom Modolu 2 dann genauso nochmal mache:
(sei g = f mod2)
ggT(g,g')

da:
und

folgt:
<- ggT(g,g')



gilt dann hier auch ggT = ?
Also mal für dumme erklärt, würde das quasi heißen solange da kein ggT mit mindestens t^1 rauskommt, sondern nur eine Zahl (t^0), ist der ggT also 1, da man also kein Polynom vom Grad größer als 0 finden kann welches f und f' bzw. hier g und g' teilt ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Zahlen sind keine interessanten Faktoren, wenn es um Polynome geht, weil jede Zahl ungleich 0 ein Teiler jedes Polynoms ist :

Vorsicht: bei Polynomringen über Ringen ist das nicht richtig, z.B. bei ganzzahligen Polynomen muss man auch auf die ganzzahligen Teiler (modulo Vorzeichen) achten.
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank!

Wir haben in unserer Vorlesung bisher nur Polynome über den Körpern betrachtet und wen dies dort gilt, ist mir damit schon sehr geholfen. smile
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei mir grad noch einfällt das ich das zweite Polynom (f modolu 3) ja dann über betrachte und müsste ich dann nicht die 3/8 erstmal auch in modolu 3 umformen, was bei mir 0 ergibt da:


Dann wäre ja ggT(g,g')=0 macht dies überhaupt Sinn?
Bzw. da in mod3 ja nicht gilt das 0 = 1 ist, wäre der ggT ja nicht mehr 1, das verwirrt mich jetzt ein bisschen, ist g dann nicht seperabel über ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Über muss man sicher anders rechnen, da macht 3/8 keinen Sinn ... ich komme nach einer Pause wieder.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Modulo 3 haben t^3+t^2+t und 2t+1 die gemeinsame Nullstelle 1, also den gemeinsamen Teiler t-1=t+2. Der ggT kann also nicht 1 sein. Bei der Polynomdivision muss man schon modulo 3 rechnen, dann kommt bestimmt der richtige ggT heraus.
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das nun mal in modulo 3 ausprobiert:

mod3
Die Polynomdivision geht dann also ohne Rest auf und demnach müsste doch schon g' selbst der ggT sein, also ggT(g,g') mod3 mod3
oder sehe ich das falsch?
Wenn das nun stimmt, dann wäre hier das Polynom g (f modolu 3) diesmal nicht separabel oder nicht?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klar ist das so, denn modulo 3 und modulo 3
Sally19 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank!
Dauert leider manchmal etwas länger bei mir, aber es hat mir sehr weitergeholfen! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss länger dauern. Wer nicht lange genug darüber nachdenkt, versteht nichts.
Tipp: Die linearen Faktoren modulo 3 findet man ganz schnell, indem man nach Nullstellen sucht. Als Nullstellen kommen nur 0,1,2 infrage, weil dieser Körper keine weiteren Elemente hat. Bei allen endlichen Körpern sucht man zuerst nach Nullstellen im Primkoerper.
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