Wie lässt sich diese (Un-)Gleichung vereinfachen?

14.01.2017, 18:43

Max98

Wie lässt sich diese (Un-)Gleichung vereinfachen?

Meine Frage:
In einem Buch geht es darum, wie sich alle ganzzahligen "befreundete Rechtecke", also Rechteckspaare, wobei der Umfang des einen der Fläche des anderen entspricht und umgekehrt, finden lassen. Wer sich den ganzen Abschnitt selbst ansehen möchte, kann einfach das erste Ergebnis bei der Google-Suche nach "Amicable rectangles" nutzen.
Jedenfalls habe ich die Vorgehensweise soweit verstanden, bis zu folgendem Punkt:
$\begin{eqnarray*} \left(ab - 4a\right)^{2} \geq a^{2} b^{2} - 32\left(a+ b\right) \end{eqnarray*}$
Dann finden einige Umwandlungen statt, sodass nur noch folgendes verbleibt:
$\begin{eqnarray*} 2a\geq b\left(a- 2\right) \end{eqnarray*}$
Versteht ihr, welche Umformungen der Autor hier vorgenommen hat?

Meine Ideen:
Ich habe schon viel herumprobiert, bin aber nicht auf die Lösung gekommen. Das $\begin{eqnarray*} a^{2} b^{2} \end{eqnarray*}$ kürzt sich ja offensichtlich heraus, aber ab dann habe ich Probleme, mit den ganzen Potenzen und der Summe sinnvoll weiterzurechnen...

14.01.2017, 19:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Max98
Versteht ihr, welche Umformungen der Autor hier vorgenommen hat?

Kann nicht sein, da gebe ich dir Recht. Aber überprüfe mal bitte alle Terme, und ob du auch wirklich alle Informationen über $\begin{align*} a,b \end{align*}$ hier genannt hast (vielleicht gibt es ja auch noch andere).

14.01.2017, 19:19

Max987

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Befreundete Rechtecke
Alle Formeln findest du am leichtesten mit der Google-Suche, die ich oben beschrieben habe. Die wichtigsten kann ich dir aber schnell auflisten:
(a und b bzw. c und d sind die Seiten der Rechtecke)
$\begin{eqnarray*} ab = 2\left(c+ d\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cd = 2\left(a+ b\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = \frac{ab}{2} - c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(c - \frac{ab}{4} \right)^{2} = \frac{a^{2} b^{2} }{16} - 2\left(a+b\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(ab - 4c\right)^{2} = a^{2} b^{2} - 32\left(a+b\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab - 4a \geq ab - 4c \end{eqnarray*}$
Anmerkung: Per Definition gilt außerdem a<=b, c<=d und a<=c.

14.01.2017, 19:29

mYthos

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Irrtum, es kann doch sein und die Umformung funktioniert, wenn auch etwas listig:

Nach Reduktion von $\begin{eqnarray*} a^2b^2 \end{eqnarray*}$ und Division durch (-8) bleibt

$\begin{eqnarray*} a^2b - 2a^2 \leq 4a + 4b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2b - 4b \leq 2a^2 + 4a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(a^2 - 4) \leq 2a(a + 2) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a > 0 \end{eqnarray*}$ , ist durch $\begin{eqnarray*} (a + 2) \end{eqnarray*}$ zu kürzen

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b(a - 2) \leq 2a \end{eqnarray*}$

mY+

14.01.2017, 19:51

HAL 9000

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@Max987

Hat sich ja mein eindrückliches Beharren auf Formelüberprüfung gelohnt: Plötzlich postest du ganz andere Formeln. unglücklich

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