Gemischte trigonometrische (transzedente) Gleichung

14.01.2017, 19:06	Max1231	Auf diesen Beitrag antworten »
Gemischte trigonometrische (transzedente) Gleichung Meine Frage: Hey Leute, wir haben die Gleiung cos (x) = - 4/pi^2 ×x^2 +1 und ich finde einfach keinen Lösungsansatz... Meine Ideen: Also ich weiß dass die Schnittpunkte pi÷2 und -pi÷2 sind aber wie kommt man drauf?
14.01.2017, 19:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir suchen die reellen Nullstellen von $\begin{align} f(x) = \cos(x) + \frac{4}{\pi^2}x^2-1 \end{align}$ . 1) $\begin{align} f \end{align}$ ist gerade, d.h., wir können uns auf die Nullstellen $\begin{align} x\geq 0 \end{align}$ konzentrieren (mit $\begin{align} x \end{align}$ ist automatisch auch $\begin{align} -x \end{align}$ Nullstelle). 2) $\begin{align} f(0) = f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \end{align}$ kann man direkt ausrechnen. 3) Es ist $\begin{align} f'(x) = -\sin(x) + \frac{8}{\pi^2}x \end{align}$ , d.h. für alle $\begin{align} x > \frac{\pi^2}{8} \end{align}$ ist $\begin{align} f'(x) > 1-\sin(x)\geq 0 \end{align}$ und damit streng monoton wachsend. Also gibt es keine Nullstelle $\begin{align} x>\frac{\pi}{2} \end{align}$ , da ja aufgrund der Monotonie f $\begin{align} (x) > f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \end{align}$ für diese $\begin{align} x \end{align}$ gilt. 4) Es bleibt noch nachzuweisen, dass im Bereich $\begin{align} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{align}$ keine weitere Nullstelle ist - das ist etwas aufwändiger.
14.01.2017, 21:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Algebraisch ist die Gleichung nicht zu lösen. Will/kann man nicht raten bzw. wenn alle Stricke reissen, wird diese transzedente Gleichung mittels eines Näherungsverfahres erledigt. Eine Wertetabelle bzw. der Graph und die von Hal gezeigte Untersuchung der Monotonie geben noch weiter Aufschluss. Nachteilig ist, dass auf diesem Weg z.B. die exakte Lösung pi/2 nicht aufscheint, sondern eben nur 1.570796326 ... Vermutet man daraufhin eventuell pi/2, so muss dies durch Einsetzen verifiziert werden, wie dies auch mit x = 0 gemacht wurde. mY+

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