Spezielle Lineare Algebra

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15.01.2017, 02:11	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Lineare Algebra Meine Frage: Hallo, ich bräuchte einen Ansatz für folgende Aufgabe. Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe. Seien V und W endlichdimensionale K-Vektorraume und f : V -> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Ist dim(V ) < dim(W) (bzw. dim(V ) > dim(W)), so kann f nicht surjektiv (bzw. nicht injektiv) sein. Was andert sich, wenn auf die Voraussetzung "endlichdimensional" verzichtet wird? Meine Ideen: Zu zeigen wäre also: dim(V) < dim(w) => es existiert mindestens ein w aus W sodass: Für alle v aus V gilt f(v) =/ w
15.01.2017, 09:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte den Dimensionssatz dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))
16.01.2017, 15:09	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
dim(ker(f)) + dim(im(f)) < dim(ker(f^-1)) + dim(im(f^-1)) da dim(im(f)) = dim(im(f^-1) müsste dim(ker(f)) < dim(ker(f^-1)) Ist das richtig so?
16.01.2017, 15:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für f=id ist das offenbar falsch.
16.01.2017, 16:17	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, danke für die Antowrt. ja das leuchtet ein, also ist dim(im(f)) = dim(im(f^-1) ein falscher Schluß. Ist folgendes richtig: Wenn f surjektiv wäre => dim( im(f)) = dim(W) da aber dim(ker(f)) + dim(im(f)) < dim(W) kann dim(im(f)) = dim(W) nicht sein
16.01.2017, 16:51	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zweitem: dim(V) > dim(W) => nicht injektiv Und Wenn f injektiv wäre => Kern(f) = 0 ist => dim(V) = dim(im(f)) Da im(f) = {f(V) Teilmenge W} kann im(f) > dim(W) nicht sein und somit dim(V) > dim(W) auch nicht Ist das richtig so?
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16.01.2017, 18:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist im wesentlichen richtig. Es geht auch etwas formaler, etwa so: ------------------------------------------------------------------------------------------ Annahme f surjektiv => dim(im(f)) = dim(W) => dim(V)=dim(ker(f)) + dim(im(f)) =dim(ker(f)) + dim(W) < dim(W) nach Voraussetzung Also dim(ker(f))<0 WIDERSPRUCH da ker(f) UVR von V ------------------------------------------------------------------------------------------ f injektiv => ker(f) = {0} => dim(V)=dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(im(f)) <= dim(W)
16.01.2017, 18:53	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, dann bedanke ich mich sehr für ihre Hilfe und wünsche ihnen noch einen schönen Tag
16.01.2017, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir, dass ich helfen durfte. (Wir duzen uns hier )
16.01.2017, 19:09	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wusste ich nicht. Dann danke dir. Tut mir leid das ich nochmal störe, aber ich habe gerade gesehen das der letzte Teil der Frage von mir noch gar nicht beantwortet wurde. "Was ändert sich, wenn auf die Voraussetzung "endlichdimensional" verzichtet wird? Da die Dimensionsformel nur für endlichdimensionale K-Vektorräume einsetzbar ist, Ist V oder W unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Reicht das als Begründung?
16.01.2017, 19:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist Du sicher, dass die Dimensionsformel nur für endlichdimensionale Vektorräume gilt ? Ich bin nicht ganz sicher, aber ich vermute, dass sie bei der üblichen Interpretation der Dimension als Mächtigkeit einer Basis für beliebige Vektorräume gilt. Wenn das so ist, musst Du darüber nachdenken, ob die Beweise dann auch noch gültig sind - und wenn nicht, ob sie noch irgendwie zu retten sind ...
16.01.2017, 19:58	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Auszug aus meinem Skript: "Satz 4.19 (Dimensionsformel für lineare Abbildungen) Sei K ein Körper und seien V und W zwei K-Vektorräume mit dim(V ) < ∞. Sei ferner Õ : V → W eine lineare Abbildung. Dann gilt: dimV = dimker(Õ) + rg(Õ) " Auszug aus Wikipedia: "Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume V1, V2 eines größeren Vektorraumes berechnen lässt" Die Dimensionsformel gilt also im allgemein nicht für unendlichdimensionale Vektorräume. Ich versuche das mal zu lösen
16.01.2017, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alle sagen, die Formel gilt für endlichdimensionale Vektorräume. Daraus kann man nicht schließen, dass sie für unendlichdimensionale Vektorräume nicht gelten.
16.01.2017, 20:34	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
eben, das habe ich auch fest gestellt. Da es sich bei der Aufgabe bei V, W um beliebige Vektorräume handelt, kann ich sie so wählen das die Formel nicht mehr gilt. Oder gilt sie trotzdem aufgrund der Linearität? :/
16.01.2017, 21:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass sie immer gilt. Das glaube ich so lange, bis ich ein Gegenbeispiel sehe oder auf andere Weise bewiesen wird, dass sie nicht immer gilt.
17.01.2017, 08:53	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah d.h. hier ist zu zeigen das sie nicht zwangsläufig gilt, falls das der Fall ist. Was es ist: K^ℕ -> K^ℕ , (x1, x2, ..) -> (0, x1, x2, ..) injektiv aber nicht surjektiv. Vielen Dank für deine Hilfe.!
17.01.2017, 09:16	Norman13	Auf diesen Beitrag antworten »
*K^N
17.01.2017, 11:49	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schönes Beispiel, aber es klärt keine der hier aufgeworfenen Fragen. Es ist $\begin{eqnarray} dim(K^{\mathbb N})=\infty \end{eqnarray}$ , es ist $\begin{eqnarray} dim(ker(f))=0 \end{eqnarray}$ und die Dimensionsformel gilt : $\begin{eqnarray} \infty=dim(K^{\mathbb N})=dim(ker(f)) + dim(im(f))=0+\infty \end{eqnarray}$
17.01.2017, 12:11	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist wohl eher, ob sie bei unendlichdimensionalen Vektorräumen noch sinnvoll bzw. nützlich ist, nicht, ob sie dann noch gilt. Denn entweder muss der Kern oder das Bild dann unendlichdimensional sein oder beide. Die Rechnungen $\begin{align} \infty + k =\infty, \infty+\infty=\infty \end{align}$ halte ich für ziemlich nutzlos. Deswegen wird wohl immer auf endlichdimensionale VR abgehoben, wo die Formel einen Sinn macht.
17.01.2017, 12:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke da mehr an Kardinalzahlen, und da bin ich mir wirklich nicht ganz sicher.

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