Messbarkeit bzgl. Bildmaß

15.01.2017, 15:18	mathe_ersti_d	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit bzgl. Bildmaß Meine Frage: Hallo, in Analysis III haben wir folgende Aufgabe gestellt bekommen: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ äußeres Maß auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi: X \Rightarrow Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g: Y \Rightarrow \overline{\mathbb{R}} \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} g \circ \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ -messbar, so ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \phi(\mu) \end{eqnarray}$ -messbar (Bildmaß) und es gilt, wenn eines der Integrale existiert, $\begin{eqnarray} \int_{Y}^{} \! g \, d(\phi(\mu)) = \int_{X}^{} \! g \circ \phi \, d\mu \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Gleichheit der Integrale konnte ich bereits zeigen, indem ich den Beweis erst für Treppenfunktionen führte und alle andere Funktionen dann durch diese approximierte. Mein Problem liegt in der Messbarkeitsaussage. Ich denke, dass die Messbarkeit nach Carathéodory gemeint ist. Wenn ich stumpf die Definition einsetze, komme ich zu folgender zu zeigenen Aussage $\begin{eqnarray} \forall S \subset Y: \mu(\phi^{-1}(S)) \ge \mu(\phi^{-1}(S \cap g(Y))) + \mu(\phi^{-1}(S \setminus g(Y))) \end{eqnarray}$ Diese macht für mich aber keinen Sinn, da $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(Y) \end{eqnarray}$ Teilmenge der reellen Zahlen ist und damit nicht geschnitten werden kann. Sieht jemand meinen Fehler? EDIT: bitte nach Hochschulmathematik > Analysis verschieben

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