Geeignete Transformation für DGL finden

15.01.2017, 15:08	Jorden	Auf diesen Beitrag antworten »
Geeignete Transformation für DGL finden Meine Frage: Hi, folgendes Problem: $\begin{eqnarray} u''+u'+e^{-2t}u=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u(log(1/\pi)=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u'(log(1/\pi)=0 \end{eqnarray}$ Dieses AWP soll ich mithilfe einer Transformation der unabhängigen Variablen lösen. Meine Ideen: Wie finde ich denn eine geeignete Transformation? Linear ist die DGL ja schon, aber die Koeffizienten sind noch nicht konstant. Ich würde natürlich gerne irgendwie das $\begin{eqnarray} e^{-2t} \end{eqnarray}$ rausheben, aber wie bekomme ich das hin? Mein Ansatz für die Transformation ist der folgende: u(t)=v(...), wobei ... die Eigenschaft haben muss, dass beim Nachdifferenzieren in der DGL irgendwie das $\begin{eqnarray} e^{-2t} \end{eqnarray}$ rausfällt. Kann jemand helfen?
15.01.2017, 15:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz $\begin{align} u(t) = v\left( e^{-t} \right) \end{align}$ überführt deine DGL in eine lineare DGL für $\begin{align} v \end{align}$ mit konstanten Koeffizienten, und die werden ja bekanntermaßen beherrscht.
16.01.2017, 08:17	Jorden	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Mit diesem Ansatz konnte ich die Lösungen der transformierten DGL zu $\begin{eqnarray} v_{1}(e^{-t})=e^{it} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{2}(e^{-t})=e^{-it} \end{eqnarray}$ berechnen. Wie mache ich nun die Rücktransformation? Ich brauche am Ende reellwertige Lösungen.
16.01.2017, 08:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die beiden v-Lösungen sind $\begin{align} v_1(z) = e^{iz} \end{align}$ und $\begin{align} v_2(z) = e^{-iz} \end{align}$ . Eigentlich sollte dir bereits aus anderen DGL bekannt sein, dass man alternativ dafür auch eine reelle Basis wählen kann, nämlich $\begin{align} v_3(z) = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} = \cos(z) \end{align}$ und $\begin{align} v_4(z) = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = \sin(z) \end{align}$ . Die Rücksubstitution geschieht so, wie oben per $\begin{align} u(t) = v\left(e^{-t}\right) \end{align}$ definiert, also simples Einsetzen: $\begin{align} u_3(t) = v_3\left( e^{-t} \right) = \cos\left( e^{-t} \right),\quad u_4(t) = v_4\left( e^{-t} \right) = \sin\left( e^{-t} \right) \end{align}$ .

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