Flächenintegral, Ebene und Vektorfeld gegeben

15.01.2017, 17:26	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenintegral, Ebene und Vektorfeld gegeben Meine Frage: Ich suche jetzt schon wirklich lange nach dem Fehler aber finde ihn einfach nicht. Gegeben war das Vektorfeld $\begin{eqnarray} a=\begin{pmatrix} x^{2} \\ -2x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und die Ebenengleichung $\begin{eqnarray} 4x+5y+4z=5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>0, y>0, z>0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Den Normalvektor kann ich ja ganz normal ablesen. $\begin{eqnarray} n=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Parametriert habe ich in dem ich z=0 gesetzt habe. $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \frac{5}{4} -y-\frac{4}{5}x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in das Vektorfeld eingesetzt ändert sich nichts da z dort gar nicht enthalten ist, also hätte ich mir diesen Schritt ersparen können. Das Skalarprodukt vom Normalvektor mit dem Vektorfeld: $\begin{eqnarray} a\cdot n=4x^{2}-10x+8y \end{eqnarray}$ Als Grenzen habe ich für z=0 $\begin{eqnarray} 0<y<1-\frac{4}{5}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<x<\frac{5}{4} \end{eqnarray}$ Als Ergebnis bekomme ich $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\frac{5}{4} }\int_{0}^{1-\frac{4}{5} x} \! 4x^{2}-10x+8y \, dydx = -\frac{55}{192} \end{eqnarray}$ Es sollte aber $\begin{eqnarray} \frac{-55}{192\cdot 4} \end{eqnarray}$ herauskommen. Ich habs jetzt schon ein paar mal nachgerechnet, aber kann den Fehler einfach nicht finden. Hat jemand ein besseres Auge dafür als ich, wäre wirklich nett. Es kann natürlich auch sein dass die vorgegebene Lösung falsch ist.
16.01.2017, 10:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ebenegleichung stimmt nicht $\begin{eqnarray} \vec x=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \tfrac{5}{4}-y+\tfrac{4}{5}x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Setzt man nämlich die z-Komponente $\begin{eqnarray} z=\tfrac{5}{4}-y+\tfrac{4}{5}x \end{eqnarray}$ in die Ebenengleichung 4x+5y+4z=5 ein, so ist diese Gleichung nicht erfüllt: $\begin{eqnarray} 4x+5y+4\cdot \underbrace{(\tfrac{5}{4}-y+\tfrac{4}{5}x)}_z\neq 5 \end{eqnarray}$
16.01.2017, 10:59	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist allerdings richtig, danke. Ändert aber auch nichts am Ergebnis. Ich glaube schon fast, dass die Lösung falsch ist. $\begin{eqnarray} z = -x-\frac{5}{4}y+\frac{5}{4} \end{eqnarray}$
16.01.2017, 13:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Normalenvektor auf die Länge 1 normieren. Mit anderen Worten, du musst dein Ergebnis mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\sqrt{57}} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Ansonsten habe ich dasselbe Integral wie du. Die Rechnung lautet: -------------------------------------------------------------------------------------------------- Die Ebenengleichung in Parameterform mit den Parametern x, y lautet $\begin{eqnarray} \vec x=\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_0}+\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{5}{4} \\ 0 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_1}\cdot x+\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_2}\cdot y \end{eqnarray}$ Der Normalvektor ist das auf 1 normierte Kreuzprodukt der beiden Vektoren, welche die Ebene aufspannen, also $\begin{eqnarray} \vec n=\frac{\vec x_1 \times \vec x_2}{\|\vec x_1 \times \vec x_2\|}=\frac{1}{\sqrt{57}}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gegeben ist das Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec a=\begin{pmatrix} x^2 \\ -2x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe alles nochmal nachgerechnet und komme auf dasselbe Oberflächenintegral wie du $\begin{eqnarray} I=\int_{x=0}^{\tfrac{5}{4}} \int_{y=0}^{1-\tfrac{4}{5}x}\overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} x^2 \\ -2x \\ 2y \end{pmatrix}}_{\vec a}\cdot \underbrace{\frac{1}{\sqrt{57}}\cdot\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}}_{\vec n}}^{\text{Skalarprodukt}}\,\,dy dx=\frac{1}{\sqrt{57}}\cdot \int_{x=0}^{\tfrac{5}{4}} \int_{y=0}^{1-\tfrac{4}{5}x} (4x^2-10x+8y)\,\,dydx \end{eqnarray}$ Abintegrieren von y ergibt folgendes Integral über x $\begin{eqnarray} I=\frac{1}{\sqrt{57}}\cdot \int_{x=0}^{\tfrac{5}{4}}(-3,2x^3+14,56x^2-16,4x+4)\,\,dx=\frac{1}{\sqrt{57}}\cdot(-0,8x^4+\tfrac{14,56}{3}x^3-8,2x^2+4x)_0^{5/4}=-\tfrac{0,2865}{\sqrt{57}} \end{eqnarray}$
16.01.2017, 18:12	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Dann wird wirklich die vorgegebene Lösung falsch sein, hab auch nochmal die Angaben kontrolliert. Warum man hier normieren muss und bei anderen Fällen wieder nciht verstehe ich noch nicht wirklich. Wenn ich den Normalenvektor von den Polarkoordinaten oder Kugelkoordinaten bilde ist er bereits normiert oder verstehe ich das jetzt falsch?
17.01.2017, 10:09	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir die Lösung nochmal angesehen und zwei Fehler bemerkt: Fehler 1: Man darf die Parameter u, v der Ebenengleichung nicht mit den Koordinaten x,y identifizieren. Fehler 2: Die Integrationsgrenzen waren falsch gewählt -------------------------------------------------------------------------------------------------- Die Ebenengleichung in Parameterform mit den Parametern u, v lautet $\begin{eqnarray} \vec x(u, v)=\begin{pmatrix} x(u, v) \\ y(u, v) \\ z(u, v) \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_0}+\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{5}{4} \\ 0 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_1}\cdot u+\underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}}_{\vec x_2}\cdot v \end{eqnarray}$ Wichtig ist, dass man hier die Parameter u, v einsetzt, welche nicht mit den Koordinaten x,y verwechselt werden dürfen! Das vektorielle Flächenelement lautet bekanntlich $\begin{eqnarray} d \vec A=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u}\times \tfrac{\partial \vec x}{\partial v}=\begin{pmatrix} \tfrac{5}{4} \\ 0 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -\tfrac{5}{4} \end{pmatrix}\, du dv= \tfrac{1}{16} \begin{pmatrix} 20 \\ 25 \\ 20 \end{pmatrix}\,\, du dv \end{eqnarray}$ Als Integrand ist das folgende Vektorfeld gegeben $\begin{eqnarray} \vec a=\begin{pmatrix} x^2 \\ -2x \\ 2y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In dieses Vektorfeld muss man anstelle der Variablen x, y, z die Komponenten x(u,v), y, (u,v), z(u,v) aus der obigen Ebenengleichung einzusetzen. Das egibt: $\begin{eqnarray} \vec a=\begin{pmatrix} \tfrac{25}{16}u^2 \\ -\tfrac{10}{4}u \\ 2v \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So bekommt man folgendes Oberflächenintegral $\begin{eqnarray} I=\int_{u=0}^{1} \int_{v=0}^{1-u}\overbrace{ \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{25}{16}u^2 \\ -\tfrac{10}{4}u \\ 2v \end{pmatrix}}_{\vec a}\cdot \underbrace{\tfrac{1}{16} \begin{pmatrix} 20 \\ 25 \\ 20 \end{pmatrix}\,\, du dv}_{\vec A}}^{\text{Skalarprodukt}}=\int_{u=0}^{1} \int_{v=0}^{1-u}(\tfrac{125}{64}u^2-\tfrac{250}{64}u+\tfrac{40}{16}v)\,\,dv du \end{eqnarray}$ Man beachte die Integrationsgrenzen: Bei u=1, v=0 ist man im Punkt (x;y;z)=(5/4;0;0) und bei u=0, v=1 ist man im Punkt (x;y;z)=(0;1;0). Daraus ergeben sich die Integrationsgrenzen im obigen Integral. Abintegrieren von v ergibt folgendes Integral über u $\begin{eqnarray} I=\int_{u=0}^{1} \tfrac{125}{64}u^2 (1-u)-\tfrac{250}{64}u(1-u)+\tfrac{20}{16} (1-u)^2\,\,du=\tfrac{1}{64}\int_{u=0}^{1} (-125u^3+455u^2-410u+80)\,\,du \end{eqnarray}$ Abintegrieren von u ergibt $\begin{eqnarray} I=\tfrac{1}{64}\cdot [-\tfrac{125}{4}u^4+\tfrac{455}{3}u^3-\tfrac{410}{2}u^2+80u]_0^1=-0,07161 \end{eqnarray}$ Das ist das vorgegebene Ergebnis.
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18.01.2017, 08:49	johnny94	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke das hat mir jetzt sehr geholfen, da war ich ja auf dem komplett falschen Weg. Jetzt habe ich es denke ich verstanden. Ich wünsch dir noch eine schöne Woche.

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