Grenzwert einer Folge bestimmen

15.01.2017, 21:01

Mathe<3

Grenzwert einer Folge bestimmen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen habe folgende Aufgabe(siehe Bild) kann mir einer sagen wie ich bei so Aufgaben vorgehen kann?

Meine Ideen:
Ausser raten habe ich bis jetzt keine Idee...

15.01.2017, 21:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe<3
wie ich bei so Aufgaben vorgehen kann?

Kann ich leider nicht sagen, weil ich deine Vorkenntnisse und "Sicherheit" auf dem Gebiet nicht kenne. Auf alle Fälle solltest du erstmal die Begriffe alle kennen, also lim, liminf, inf.

Hier soll man Folgen konstruieren, dafür ist ein bisschen Kreativität gefragt, die kann man schlecht per Schema anlernen.

Zu a) Bei $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} (a_{n+1}-a_n) = 10 \end{align*}$ würde man im einfachsten Fall die arithmetische Folge $\begin{align*} a_n=10n \end{align*}$ wählen, die erfüllt dann gleich die mittlere Bedingung $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n=\infty \end{align*}$ , verletzt aber leider die erste Bedingung $\begin{align*} a_{n+1}-a_n\neq 10 \end{align*}$ . Macht nix, da addieren wir einfach eine nichtkonstante (!) Nullfolge dazu, schon passt alles:

$\begin{align*} a_n = 10n + \frac{1}{n} \end{align*}$

Aber wie gesagt, das ist nur ein mögliches Beispiel - der Kreativität sind keine Grenzen gesetzt. Ich hab nur gesagt, wie ich es machen würde.

b) ist an sich noch einfacher: Wähle einfach eine konvergente Folge, dann ist nämlich $\begin{align*} \liminf_{n\in\mathbb{N}} b_n = \lim_{n\in\mathbb{N}} b_n \end{align*}$ . Und wenn du die Folge monoton wachsend wählt, dann ist das kleinste Element $\begin{align*} \inf_{n\in\mathbb{N}} b_n \end{align*}$ gleich das erste Folgenelement. Und das kann doch nun wirklich nicht so schwer sein, da was zu finden.

15.01.2017, 21:39

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b)

Ganz spontan fällt mir da die Folge (1+1/n)^n ein.
Wächst monoton Gw ist die Eulersche Zahl also somit lim inf= lim an
Und inf ist 2
Ganz spontan stimmts?

16.01.2017, 10:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein passendes Beispiel - war doch gar nicht so schwer. Freude

Man kann es auch ganz einfach haben: $\begin{align*} b_n = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\;n=1\\ 1 & \;\mbox{für}\;n\geq 2\end{cases} \end{align*}$ wäre auch eine mögliche Wahl.

16.01.2017, 11:09

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh das ist ja noch einfacher Big Laugh

übrigens das war eine Klausuraufgabe wenn man Konzentriert ist ist es ja ziemlich einfach aber als nervöser Mensch kann dies schon Zeit in anspruch nehmen aber ich werde versuchen einfach "unkompliziert " zu denken sowie du smile

Ich hätte hier noch 2 Klausuraufgaben.

zu Aufgabe 2a) Ich würde jetzt einfach spontan zeigen das die Komposition von f eine Injektive Abbildung ist denn wenn dies der fall ist ist f Streng Monoton Steigend. Allerdings muss ich davor zeigen das eine Streng Monotone Funktion genau dann gegeben ist wenn die Funktion Injektiv ist.

Also 1. Ich zeige das eine Streng Monoton Wachsende Funktion genau dann gegeben ist wenn die Funktion Injektiv ist. Also 2 Richtungen muss ich zeigen.

2. Ich zeige wenn die Funktion Injektiv ist so ist dann auch die Komposition Injektiv.

ist das sinnvoll diese Idee?

zu b) habe ich mir keine Gedanken gemacht.

Und zu den Aufgaben wo ich die Konvergenz untersuchen soll :

Bei der 1. Bin ich mir nicht sicher was ich benutzen kann. Irgendwas übersehe ich hier...
Bei der 2. Ich sehe schon das das Wurzelkriterium hier ganz gut klappen würde.

Ich danke dir für deine Antworten

16.01.2017, 11:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was du mit 2a) und 2b) meinst, anscheinend hast du den Scan vergessen.

Zu den beiden Reihenkonvergenzaufgaben:

(a) ist konvergent. Nicht ganz trivial, kann mit $\begin{align*} \cos(x) = 1+O(x^2) \end{align*}$ für $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ begründet werden, falls dir Landau-Symbol O(..) was sagt.

(b) ist auch konvergent, und da ist der Nachweis viel einfacher: Bereits Quotienten- oder Wurzelkriterium greifen.

16.01.2017, 11:21

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die 2.Aufgabe

16.01.2017, 11:25

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Landau-Symbol ?
und wie kommst du auf cos(x) =q+ O(x^2) ?

geht dies nicht auf eine andere Art ?

16.01.2017, 11:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vergiss das mit Landau. Du kannst für $\begin{align*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{align*}$ leicht $\begin{align*} 1-\frac{x^2}{2} < \cos(x) < 1 \end{align*}$ nachweisen, das eingesetzt ergibt sich eine konvergente Majorantenreihe.

16.01.2017, 11:41

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hoffe erstmal du hast mein Beitrag gesehen wo ich die Aufgabe 2 hochgeladen habe.

Also für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

gilt das $\begin{eqnarray*} 1-\frac{x^{2}}{2} < cos(x) < 1 \end{eqnarray*}$

Du Schätzt ja eigentlich den Term $\begin{eqnarray*} 1-cos(\frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$ nach oben ab um eine Konvergente Majorante zu finden.

Ich weiß nicht genau wie du auf x^2/2 kommst verwirrt

16.01.2017, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe<3
Also ich hoffe erstmal du hast mein Beitrag gesehen wo ich die Aufgabe 2 hochgeladen habe.

Die überlasse ich gern anderen Helfern hier im Board.

Zitat:

Original von Mathe<3
Ich weiß nicht genau wie du auf x^2/2 kommst verwirrt

Potenzreihe/Taylorentwicklung von $\begin{align*} \cos(x) \end{align*}$ noch nie gesehen? Dann wird es Zeit.

16.01.2017, 11:47

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem ich stelle es dann als ein Neues Thema warscheinlich werden Sie das hier nicht sehen smile

16.01.2017, 11:50

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja das stimmt..

Dann muss ich in x also 1/n+1 einsetzen...
das ist ja eigentlich nicht so schwer irgendwie komm ich aber manchmal einfach nicht drauf das nervt mich echt hast du denn für die Klausur einige tipps für mich ?

16.01.2017, 12:00

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso und dieses Landau heißt doch nicht anderes als die Reihendarstellung von Cosinus Also sozusagen bis O(x^2) oder ?

16.01.2017, 20:39

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand helfen bitte ???

16.01.2017, 20:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn noch offen? verwirrt

17.01.2017, 10:34

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich würde gerne wissen ob das richtig ist was ich frage... ?

Die Potenzreihe von Cosinus :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} = 1- \frac{1}{2!}x^{2} +... \end{eqnarray*}$

Wieso nehmen wir nun genau die stelle $\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{2!}x^{2} +... \end{eqnarray*}$

und was heißt genau $\begin{eqnarray*} 1- O(x^{2} ) \end{eqnarray*}$ heißt dies wir betrachten die Potenzreihe von Cosinus nur bis x^2 ?

Weiter frage ich mich wenn wir ja das hier haben $\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{2!}x^{2} +... \end{eqnarray*}$

muss ich ja für x = 1/n+1 einsetzen also hätte ich ein Ausdruck von :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sqrt{n} (1-cos(\frac{1}{n+1}) ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sqrt{n} (1-(1-\frac{\frac{1}{(n+1)^{2}} }{2} ) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sqrt{n}(\frac{\frac{1}{(n+1)^{2}} }{2} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sqrt{x}(\frac{1}{2*(n+1)^{2}} ) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle würde ich Begründen das $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Nach dem Causchyverdichungssatz Konvergieren muss da 1 /(n+1)^2 stets Monotonfallende Reihenglieder hat und x=2>1 ist.

Also muss die Reihe 1/(n+1)^2 Konvergieren und ist eine Konvergente Majorante zur gegebenen Reihe stimmt das soweit ?

17.01.2017, 10:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab schon oben gesagt, ich diskutiere die Landau-Symbole hier nicht, wenn du sie so gar nicht kennst - lies dich da selbst ein. Ich habe die Alternative

$\begin{align*} 1-\frac{x^2}{2} < \cos(x) < 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{align*}$

angeboten, beweisbar z.B. über die Taylorformel mit Restglied vierter Ordnung.

Basierend auf dieser Abschätzung ist $\begin{align*} 0 < 1-\cos\left(\frac{1}{n+1}\right) < \frac{1}{2(n+1)^2} \end{align*}$ , und damit

$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} \left(1-\cos\left(\frac{1}{n+1}\right)\right) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2(n+1)^2} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{2n^2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \end{align*}$ .

Und das Konvergenzverhalten von $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{align*}$ sollte Reihen-Standardwissen sein: Konvergenz für $\begin{align*} \alpha>1 \end{align*}$ , Divergenz für $\begin{align*} \alpha\leq 1 \end{align*}$ .

17.01.2017, 10:56

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie gehst du auf meine fragen nicht ein. Du schreibst einfach nur deine Lösung hin so lerne ich doch nichts. Naja egal die frage hat sich geklärt ich danke dir trotzdem.

17.01.2017, 11:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe<3
irgendwie gehst du auf meine fragen nicht ein.

Ich halte hier keine Vorlesung zu Landau-Symbolen. Wenn dich das enttäuscht, dann tut es mir leid, aber ich werde es trotzdem nicht tun.

Und OK, wenn du es denn so willst, dann benenne ich noch den gravierendsten Fehler in deiner Ausarbeitung:

Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \sqrt{x}(\frac{1}{2*(n+1)^{2}} ) \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Zum einen heißt es links $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Und zum anderen ist diese Abschätzung dann falsch. Und darum ist es dann sinnlos, den Rest zu diskutieren.

Zitat:

Original von Mathe<3
so lerne ich doch nichts.

Man lernt auch durch Beispiele. Im vorliegenden Fall etwa, dass das $\begin{align*} \frac{1}{(n+1)^2} \end{align*}$ das Reihenglied stark genug (für Reihenkonvergenz) "herunterzieht" in Relation zu dem noch verhandenen gegenläufigen Faktor $\begin{align*} \sqrt{n} \end{align*}$ . Und das erklärt dann auch im Nachhinein die Konzentration auf das $\begin{align*} \frac{x^2}{2} \end{align*}$ in der Reihenentwicklung. Da muss man nicht schon zwischendurch rumquengeln

Zitat:

Original von Mathe<3
Wieso nehmen wir nun genau die stelle $\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{2!}x^{2} +... \end{eqnarray*}$

sondern kann das ganze dann nochmal im Lichte des Endergebnisses rekapitulieren.

23.01.2017, 20:50

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Lieber HAL 9000 ich habe deine Lösung soweit verstanden heute haben wir die Lösungen bekommen diese ist zu deiner relativ ähnlich.

Mein Problem zu dieser Lösung ist warum R6 ? ich weiß das bedeutet Restgliedabschätzung aber ich verstehe es einfach nicht ...

Genauso wenig verstehe ich die Lösung der Aufgabe nicht :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 0 } \frac{-5x^{2}+2x}{sin(3x)} \end{eqnarray*}$

Diese Aufgabe habe ich so gelöst indem ich die Anfangswerte von sin(3x) Aufgeschrieben habe und dann durch x dividiert habe also so :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 0 } \frac{-5x^{2}+2x}{3x-9x^{3}/3!} \end{eqnarray*}$ nun dividiere ich durch x

= $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 0 } \frac{-5x+2}{3-9x^{2}/3!} \end{eqnarray*}$ = 2/3

und die Lösung Lautet

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \ 0 } \frac{-5x^{2}+2x}{3x+O(x^3)} \end{eqnarray*}$ =2/3

Ich kann das nicht so nachvollziehen ist Landau und Restgliedabschätzung das selbe ? Das sieht so ähnlich aus und verwirrt mich.

Ich hoffe du wirst antworten das ist mir sehr wichtig.

Ich danke dir.

smile

23.01.2017, 20:55

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

anstatt 9x^3/6 kommt 27x^3/6 tut mir leid

23.01.2017, 21:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich ein Schreibfehler: Gemeint ist wohl eher das Restglied vierter Ordnung $\begin{align*} R_4 \end{align*}$ , also $\begin{align*} \cos(x) = 1-\frac{x^2}{2} + R_4(x) \end{align*}$ mit $\begin{align*} R_4(x) = \frac{\cos(\theta x)}{4!} x^4 \end{align*}$ .

In deinem Scan wird dann die Abschätzung $\begin{align*} |R_4(x)| \leq \frac{1}{4!} |x|^4 \end{align*}$ für $\begin{align*} x=\frac{1}{n+1} \end{align*}$ genutzt.

23.01.2017, 21:32

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kommt aber cos(0x) im zähler ?

Also die Restgliedabschätzung ist sozusagen der "fehler" der nach dem man die Reihe abbricht auftaucht. Meine frage wäre aber nun Wenn wir 1-x^2/2 schon haben dann muss es doch das Rstglied dritter Ordnung also R3 sein.

Um ehrlich zu sein an der Reihe ändert es doch nichts dieser "Restglied" im endeffekt verschwindet dieser wieder nachdem man diesen nach oben abschätzt

23.01.2017, 23:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathe<3
Warum kommt aber cos(0x) im zähler ?

Weil die vierte Ableitung vom Kosinus wieder der Kosinus ist, und das Taylor-Restglied in Lagrangeform eben diese Gestalt hat - lies den Rest selber nach:

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

Zitat:

Original von Mathe<3
Meine frage wäre aber nun Wenn wir 1-x^2/2 schon haben dann muss es doch das Rstglied dritter Ordnung also R3 sein.

In Wahrheit kann man es auch als Entwicklung dritter Ordnung betrachten: $\begin{align*} 1 + 0x - \frac{x^2}{2} + 0x^3 \end{align*}$ .

Nun kann man das Glied dritter Ordnung weglassen, weil es gleich Null ist - dennoch ist es eine Entwicklung dritter Ordnung, und damit das Restglied vierter Ordnung.

Zitat:

Original von Mathe<3
Um ehrlich zu sein an der Reihe ändert es doch nichts dieser "Restglied" im endeffekt verschwindet dieser wieder nachdem man diesen nach oben abschätzt

Wenn du das mal in verständlichem Deutsch formulierst, können wir vielleicht drüber reden. unglücklich

24.01.2017, 14:49

Mathe<3

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL 9000 Danke ich verstehe es jetzt viel besser.

Und kannst du mir auch die andere frage beantworten bitte ?

vielen Dank smile

24.01.2017, 15:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war jetzt ein Witz, oder? Denn du kannst ja nur die meinen:

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Mathe<3
Um ehrlich zu sein an der Reihe ändert es doch nichts dieser "Restglied" im endeffekt verschwindet dieser wieder nachdem man diesen nach oben abschätzt

Wenn du das mal in verständlichem Deutsch formulierst, können wir vielleicht drüber reden. unglücklich

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Folge bestimmen

Verwandte Themen