Integralabschätzung, Mittelwertsatz

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Thon Auf diesen Beitrag antworten »
Integralabschätzung, Mittelwertsatz
Gegeben sei die Funktion . Zudem bezeichne A die Fläche

mit Flächeninhalt . Zeigen Sie:

(a)

(b) es existiert ein , sodass . Was kann man über dieses aussagen=

(c) Gibt es ein , sodass

zu a) Ich kann nicht nachvollziehen, wieso dies eine Fläche sein soll. A ist ja eine Menge mit (x,y) Koordinaten. Und ich versuche das irgendwie in Verbindung mit einer Fläche zu bringen. Aber kann mir das nicht vorstellen.

Vielen Dank.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist die Fläche, die der Graph von im Intervall mit der x-Achse einschließt:

[attach]43645[/attach]

Wie kann man durch ein Integral beschreiben?

Die Abschätzungen in a) erhältst du, indem du nach oben bzw. unten abschätzt.

In b) wendest du den Mittelwertsatz der Integralrechnung an.

c) kannst du mit a) und einer Monotoniebetrachtung von lösen (mithilfe der Ableitung).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
c) kannst du mit a) und einer Monotoniebetrachtung von lösen (mithilfe der Ableitung).

An sich genügt bereits eine grobe Einzelabschätzung der Terme und nach oben.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlich, genauso macht man es ja auch in a). Ich war irgendwie der Meinung, dass man dafür bräuchte, dass im Intervall liegt. verwirrt
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden. smile
Also ich habe mal versucht alles umzusetzen, was ihr mir so für Tipps gegeben habt und bin auf folgende Lösung gekommen. smile



zu a)



zz.

Wegen folgt, dass

zu b) mit

Also gilt:

d.h der Funktionswert an der Stelle ist die halbe Fläche von .

zu c) ?

Setze ein:

kann nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen. der maximale Wert liegt bei 0 Also gibt es keine Lösung für , da Es gibt kein , was die Gleichung erfüllt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Du hast das Integral ausgerechnet? So kann man die Ungleichung natürlich auch nachweisen. Augenzwinkern

Ich denke mal, die Intention des Aufgabenstellers war wohl eher die Abschätzung des Integranden basierend auf und :

für alle



.

Allerdings hätte der Aufgabensteller ja auch eine kompliziertere Funktion wählen können, wenn er den direkten Integrationsweg verhindern wollte. Big Laugh


Zu b) Richtig (der genaue Integralwert war aber gar nicht nötig).

Zu c) Richtig - das hatte ich ja schon oben erwähnt.
 
 
Thon Auf diesen Beitrag antworten »

Genial. Auf a) wäre ich jetzt nicht so drauf gekommen.

Danke sehr. smile


Maschine
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