Gebrochen-rationale Funktion erstellen

15.01.2017, 22:21

DerMaschbaustudent

Gebrochen-rationale Funktion erstellen

Konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion der Gestalt
$\begin{eqnarray*} f(x)=(A*x^2+B*x+C)/(x^2+D*x+E) ;f(x)=g(x)/h(x) \end{eqnarray*}$

mit den folgenden Eigenschaften:

1)lim x gegen oo ; f(x)=0

2) f besitzt an der Stelle x=5 eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

3) Die Punkte (0; 3 ) und (-3 ; 3 ) liegen auf dem Graph der Funktion f.

Aus Bedingung 1 geht hervor, das A=0 sein muss.
Aus Bedingung 2 geht hervor, das der Zähler ungleich 0 sein muss, während der Nenner = 0 ist.
Also:
$\begin{eqnarray*} h(5)=0=25+5D+E \end{eqnarray*}$

Aus Bedingung 3 geht hervor, dass

$\begin{eqnarray*} f(0) = (0*0^2+0B+C)/(0^2+0D+E)=3 f(-3)= (-3^2-3B+C)/(-3^2-3D+E)=3 \end{eqnarray*}$
also 3*E =C
wenn ich das jetzt in ein gleichungssystem einsetze.....

$\begin{eqnarray*} 0=25+5D+E 3*(0^2+0D+E)= (0*0^2+0B+C) 3*(-3^2-3D+E)=(-3^2-3B+C) \end{eqnarray*}$

.....was ich aber nicht gelöst bekomme, da es ja vier Unbekannte gibt auf maximal 3 Gleichungen.

16.01.2017, 01:29

mYthos

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Hast du bei der Polstelle berücksichtigt, dass diese ohne Vorzeichenwechsel vorliegen muss?

mY+

16.01.2017, 16:40

DerMaschbaustudent

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Mit Vorzeichenwechsel bedeutet doch nur, das meine y werte für lim x gegen 5 von positiv zu negativ wechseln pder andersrum. Kommt drauf an von welcher Seite ich mich an die Polstelle annähere.

Oder sehe ich das falsch?

16.01.2017, 17:20

HAL 9000

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Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bedeutet

$\begin{align*} \lim_{x\searrow 5} f(x) = \lim_{x\nearrow 5} f(x) = \infty \end{align*}$

oder $\begin{align*} \lim_{x\searrow 5} f(x) = \lim_{x\nearrow 5} f(x) = -\infty \end{align*}$ .

Für Polstellen erster Ordnung (5 ist einfache Nullstelle des Nennerpolynoms) ist ein solches Verhalten unmöglich, da gibt es immer einen Vorzeichenwechsel, also

$\begin{align*} \lim_{x\searrow 5} f(x) = \infty,\; \lim_{x\nearrow 5} f(x) = -\infty \end{align*}$

oder $\begin{align*} \lim_{x\searrow 5} f(x) = -\infty,\; \lim_{x\nearrow 5} f(x) = \infty \end{align*}$ .

Was ist die Konsequenz?

16.01.2017, 17:31

DerMaschbaustudent

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Da x=5 eine Polstelle ohne VZW ist, muss meiner Meinung nach B = D sein....

Gruß,

Der Maschbaustudent

16.01.2017, 17:34

HAL 9000

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Das ist blinde Raterei ohne Sinn. unglücklich

Nein, die Polstelle muss gerade Ordnung haben, d.h., die Ordnung (Vielfachheit) der Nennernullstelle 5 muss ebenfalls gerade sein, also mindestens 2. Da das Nennerpolynom aber überhaupt nur Grad 2 hat, bedeutet das was?

16.01.2017, 17:36

DerMaschbaustudent

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Das bedeutet, dass die Ordung immer grade ist.

16.01.2017, 17:39

HAL 9000

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Sowas von schnell aufgeben... unglücklich

Es bedeutet schlicht, dass 5 zweifache Nullstelle des Nenners ist, d.h., $\begin{align*} h(x)=(x-5)^2 = x^2-10x+25 \end{align*}$ , also $\begin{align*} D=-10 \end{align*}$ und $\begin{align*} E=25 \end{align*}$ .

16.01.2017, 17:43

DerMaschbaustudent

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Also gibt mir die Ordung die maximale Anzahl der Nullstellen an.

und dadurch kann ich dann in diesem Fall auf eine binomische Formel schließen, welche mit meinem x=5 für h(5)=0 ergeben muss??

Wenn man damm alles einsetzt komme ich auf:
A=0
B=-36
C=3*E=75
D=-10
E=25

16.01.2017, 17:51

HAL 9000

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So würde ich es in keinem Fall formulieren - die Ordnung hat nix mit der Anzahl der Nullstellen, sondern mit deren Vielfachheit zu tun. Nochmal in Kürze:

Polstelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ ohne Vorzeichenwechsel bedeutet, dass im Nennerpolynom der Linearfaktor $\begin{align*} (x-x_0)^{\alpha} \end{align*}$ mit einem geradzahligen Exponenten $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ steht.

Polstelle $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ mit Vorzeichenwechsel bedeutet, dass im Nennerpolynom der Linearfaktor $\begin{align*} (x-x_0)^{\alpha} \end{align*}$ mit einem ungeradzahligen Exponenten $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ steht.

Alles natürlich unter der Voraussetzung, dass die gebrochen rationale Funktion $\begin{align*} f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \end{align*}$ bereits vollständig gekürzt ist, d.h. insbesondere, dass $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ keine Nullstelle des Zählerpolynoms $\begin{align*} g \end{align*}$ ist!

--------

Folgendes ist mir gerade eben aufgefallen:

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
$\begin{eqnarray*} 3*(-3^2-3D+E)=({\color{red}-3^2}-3B+C) \end{eqnarray*}$

Falsch aufgestellte Gleichung. Ich erinnere mal dran, dass $\begin{align*} A=0 \end{align*}$ gilt. Von den fehlenden Klammern mal ganz zu schweigen.

16.01.2017, 18:22

DerMaschbaustudent

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Dann habe ich grade mal eine Verständnisfrage:

Nehmen wir mal die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x)/h(x) = (4*x^3+8*x^2-4x)/(2x^3+7x^2+7x+2) \end{eqnarray*}$

Die erste Nullstelle für den Pol würde ich raten:

wäre in dem fall x=-2
Dann würde ich x+2 ausklammern aus h(x):

wäre
$\begin{eqnarray*} (2x^3+7x^2+6x)/(x+2)=2x^2+3x+1 \end{eqnarray*}$

das dann in die PQ-Formel einsetzen:
$\begin{eqnarray*} P=3/2 Q=1/2 x1=-0.5 x2=-1 \end{eqnarray*}$

also könnte ich dass ganze Polynom zerlegen als:

$\begin{eqnarray*} (2x^3+7x^2+6x)=(x+2)*(x+1)*(x+0.5) \end{eqnarray*}$

Dadruch, dass alle Linearfaktoren ungradzahlige Exponenten haben, wären in dem Fall alle Polstellen mit VZW!?!?!

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Folgendes ist mir gerade eben aufgefallen:

Zitat:
Original von DerMaschbaustudent
$\begin{eqnarray*} 3*(-3^2-3D+E)=({\color{red}-3^2}-3B+C) \end{eqnarray*}$

Falsch aufgestellte Gleichung. Ich erinnere mal dran, dass A=0 gilt. Von den fehlenden Klammern mal ganz zu schweigen.

Habs mal grad korrigiert, es muss sein:

$\begin{eqnarray*} 3*((-3)^2-3D+E)=(0*(-3)^2-3B+C) \end{eqnarray*}$
Dann kommt raus: B=-39

16.01.2017, 18:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
$\begin{eqnarray*} (2x^3+7x^2+6x)=(x+2)*(x+1)*(x+0.5) \end{eqnarray*}$

Dadruch, dass alle Linearfaktoren ungradzahlige Exponenten haben, wären in dem Fall alle Polstellen mit VZW!?!?!

Ja:

16.01.2017, 18:48

DerMaschbaustudent

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Danke fr deine ausführliche Hilfe HAL 9000.

Dann habe ich das Grundprinzip der Polstellen mit/ohne VZW verstanden und werdemich mal ans Lernen machen.

So gut und knackig wie du es erklärt hast, fi ndet mal es leider weder im Internet noch in der und empfohlenen Lektüre (Papula).

Freude

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