p für Maximum einer Zufallsfolge

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Dopap Auf diesen Beitrag antworten »
p für Maximum einer Zufallsfolge
ein Zufallsgenerator generiert eine Folge stetiger Zufallszahlen aus dem Intervall a bis b und einer Dichtefunktion f(x).

1.) Eine solche erste und bekannte Zufallszahl sei .
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt: ? :

edit: und nicht


2.) Die erste Zufallszahl sei nun nicht bekannt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt: ? :



ist das korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

1) ist korrekt. Mit zugehöriger Verteilungsfunktion lässt es sich natürlich einfacher schreiben als .

2) Zum einen meinst du wohl .

Zum anderen kann man den Ausdruck erheblich vereinfachen, und zwar zu . D.h., der Wert ist unabhängig von - wichtig ist nur die Voraussetzung der Stetigkeit der Verteilung (andernfalls macht die Positivität der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Ärger in der Kalkulation).

Ich gehe wohl recht in der Annahme, dass das ganze im Zusammenhang zu dem zu sehen ist, d.h., dass die Entscheidung von Sieg/Weiterkommen o.ä. bei einer gewissen Art der Spielführung gar nicht von der konkreten stetigen Verteilung abhängig ist. Augenzwinkern


EDIT: Upps, jetzt hab ich mich von dir verwirren lassen. Der richtige Wahrscheinlichkeitswert bei 1) ist . Bei 2) habe ich aber nichts zu korrigieren.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

a.) das vergessene n ärgert ich, habe es korrigiert. Könntest du dementsprechend das auch bei dir rausnehmen ?

b.) wenn schon F, dann müsste man auch schreiben können:




c.) (!! ) einverstanden

Ein paar Mal spukte mir so etwas durch den Kopf. Aber die nicht-Laplace Annahme zusammen mit der Stetigkeit vertrieben diese Gedankennebel wieder.
Wenn ich dich recht verstehe stört das in geringster Weise, das gilt auch für die strenge Monotonie von f, die nicht von Belang ist.

Also, Das ruft ja förmlich nach einer Erklärung...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich auch ohne Rechnung völlig logisch: Wenn Leute unter gleichen Bedingungen und unabhängig voneinander ihre Ergebnisse auswürfeln, und aufgrund der Stetigkeit der Verteilung mit Wahrscheinlichkeit 1 keine zwei dasselbe Ergebnis haben, dann ist jeder der Beteiligten mit gleicher Wahrscheinlichkeit eindeutiger Sieger - trifft natürlich auch auf Person 0 zu.

Die schnöde Rechnung ergibt es natürlich auch, via Stammfunktion .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

soweit klar !

das ist ja variabel = und zeigt mir die Wkt, damit nach dem ersten Wurf gegen n Gegner zu gewinnen.

das ist nun eigentlich , denn wenn ich ein zweites Mal würfele gilt der 2. Wurf als Ergebnis. Die Gegner dürfen nun aber auch je 2x würfeln - wobei der bessere Wurf zählt !

wäre die Wkt. mit meinem nicht bekannten 2. Wurf zu gewinnen.

Folglich ist meine Entscheidungsregel für einen 2. Wurf:



nochmals: bei mir zählt der 2. Wurf definitiv, bei den Gegnern jeweils der Bessere von 2 Würfen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
nochmals: bei mir zählt der 2. Wurf definitiv, bei den Gegnern jeweils der Bessere von 2 Würfen.

Diese asymmetrische Behandlung mit enormer Benachteiligung des Startenden ist mir neu, also nix mit "nochmals". Augenzwinkern


Hmmm, also du wirfst einmal und entscheidest dann anhand eines passend gewählten Schwellwertes , ob du noch ein zweites Mal wirfst?

Es gilt auf alle Fälle der letzte durchgeführte Wurf, während die Gegner jeweils den besseren von zwei Würfen einbringen können?

Dann ist die Siegwahrscheinlichkeit für dich gleich



mit (das erste Integral entspricht einmal würfeln bei Wert , das zweite dann zweimal würfeln bei ).


Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du doch aber so wählen, dass die Siegwahrscheinlichkeit maximal wird?

Nun, wegen ist die -Maximalstelle , damit ergibt sich abweichend von deinem Ergebnis ein optimales zur Maximierung von .
 
 
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p für Maximum einer Zufallsfolge
Zitat:
Dopap schrieb in seiner Aufgabenstellung: ein Zufallsgenerator generiert eine Folge stetiger Zufallszahlen (xi) aus dem Intervall a bis b und einer Dichtefunktion f(x).

1.) Eine solche erste und bekannte Zufallszahl sei z0.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt: ? :

Diese Beschreibung ist widersprüchlich. Der Ausdruck "solche" hieße was im Widerspruch steht zu .
Außerdem steht der Ausdruck "erste" für , was ein Widerspruch ist zu .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich sowas gemacht hatte, bin ich regelmäßig hier im Forum angegiftet worden...

Insofern begrüße ich, dass die Schar derer, denen exakte Formulierungen wichtig sind, sich vergrößert hat - da fühlt man sich nicht so allein. Augenzwinkern


Im vorliegenden Fall ist in 1) einfach irgendeine feste vorgegebene Zahl. Für die Berechnung ist es wurst, ob eine Realisierung von (aus 2) ) ist, oder sonstwo herkommt - Hauptsache, es ist ein fester Wert.

In 2) hingegen wird wie auch die anderen - und unabhängig von diesen! - gemäß ausgewürfelt. Zumindest zunächst - später dann hat ja Dopap die Regeln (wieder mal) geändert. Das ist sowieso auch mein Hauptvorwurf an Dopap, dass er in ein- und demselben Thread die doch unterschiedlichen Modelle nicht klar genug unterscheidet, etwa durch unmissverständlich zuordenbare Symbolik zu den verschiedenen Modellen. Das endet dann regelmäßig in den Folgebeiträgen im Chaos, weil keiner mehr so richtig weiß, über welches der Alternativmodelle gerade geredet wird. unglücklich
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000,
du hast es ja noch gut. Wenn ich mich melde, zieht sich Dopap zurück und wechselt das Thema. Ich vermute mal, das Ganze lief so:
Dopap traf sich in einer Kneipe mit Freunden (vielleicht hatte er Geburtstag). Prost Als es um die Bezahlung der Zeche ging, wurde ihm ein Spiel angetragen, wo er sich dank mathematischer Fähigkeiten überlegen glaubte. Da er aber zu hartnäckig würfelte, verlor er über Gebühr. Darüber ärgerte er sich so sehr, daß er hier bei Matheboard das Problem gepostet hat. Dann fing er an, das Problem mit seinem Taschenrechner zu simulieren, hat aber das Würfeln nicht so gut nachsimulierten können, sodaß er die Aufgabe abgewandelt hat, damit sie mit dem, was sein Rechner angeblich hergibt, übereinstimmt. Teufel
Würde Dopap mal meinen letzten Post anschauen, dann hätte er beim nächsten Mal bessere Chancen, nicht zu verlieren. Seine Freunde werden sowieso nicht dazu bereit sein, auf das Würfeln mit Dopaps Taschenrechner umzusteigen.Forum Kloppe
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

jeder Gutwillige versteht, daß eine von mir als Vorleger ausgewürfelte Zufallszahl ist.
Die Folge noch nicht realisierte ZZ der Gegner sind.

Wegen diverser Gründe muss der Thread mal gewechselt werden da es (mir) nur um einen Frame geht, die sonstigen Spielregeln Beiwerk bleiben.
Deshalb die erste "mathematische" Formulierung.

Und schon sind mir beim Thema. Wann soll ich trotz strategischer Behinderung als Vorleger ein 2. Mal würfeln?

Voraussetzungen sind:
I. wenn mein erster wurf ist, dann gewinne ich mit gegen n Gegner.
II. wenn mein erster Wurf fiktiv ist , gewinne ich mit gegen n Gegner. siehe oben
------------------------------------------------------------------------------------------------
wenn Letzteres ein 2. Wurf meinerseits sein sollte, sollte er der Beste von Würfen sein, da meine Gegner nun Würfe haben.
Dafür notiere ich

und nun vergleiche ich Beides:

um eine Entscheidung für oder gegen einen möglichen 2. Wurf zu treffen, die stark von abhängig ist.

was ist daran falsch/unlogisch ?

Die letzte Rechnung in einer vorigen post von HAL 9000 ist mir noch nicht klar. Vielleicht stimmen beide Rechnungen überein ?
-------------------------
für Beschwerden über meine mutwillige Threadführung gibt es den MELDEN Button. Evtl. hilft Math1986 weiter.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
I. wenn mein erster wurf ist, dann gewinne ich mit gegen n Gegner.

Ähem, jetzt sind wir aber wieder bei einem Wurf pro Gegner. Oben war davon die Rede, dass die Gegner jeweils zwei Würfe haben und den besten davon aussuchen - dort haben wir dann Exponent statt . Genau das meine ich mit dem "fliegenden Wechsel" der Modelle, wo am Ende die Übersicht leidet.


EDIT: Jetzt erst hat es "Klick" gemacht: Die Gegner dürfen nur dann zweimal würfeln, wenn auch du zweimal gewürfelt hast. Zugegeben, irgendwo gut im Text versteckt steht das bei dir oben. Es wäre natürlich besser, wenn du die Spielregeln klar und deutlich zusammengefasst an den Anfang stellst - aber darüber rede ich mir ja schon lange den Mund fusslig.

Das ändert natürlich (aber in sehr ähnlicher Rechnung) die Siegwahrscheinlichkeit zu



mit Maximum tatsächlich bei und zugehöriger maximaler Siegwahrscheinlichkeit

.

D.h., der Startende hat einen leichten Vorteil gegenüber den anderen. Ist aber auch klar: Im einfachen Szenario "jeder nur ein Wurf" sind alle gleichberechtigt. Allein durch die Möglichkeit der Wahl eines zweiten Wurfes können seine Chancen (bei kluger Wahl des Schwellwertes) nur besser werden - ganz egal, wie die Spielregeln für die anderen im anderen Szenario aussehen (selbst wenn die mehr als zweimal würfeln und das Maximum heraussuchen dürfen), Hauptsache er kennt diese Regeln. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000: besten Dank für die Mühe und dass du dir die Zeit genommen hast. Ich werde mir die Rechnung in Ruhe anschauen.

Zitat:
Original von HAL 9000
EDIT: Jetzt erst hat es "Klick" gemacht: Die Gegner dürfen nur dann zweimal würfeln, wenn auch du zweimal gewürfelt hast. Zugegeben, irgendwo gut im Text versteckt steht das bei dir oben. [...]


ich, der schon Hundertfach in den '70 in den Genuss von "Gespritzten" gekommen ist, kann die Schwierigkeiten nicht so richtig nachvollziehen.
Gespielt wurde das Original "Chicago" mit 3 Würfeln. Und da durfte der Vorleger bis zu 3 Würfe machen. Zusätzlich darf man dabei auch eine Teilmengen des momentanen Wurfes beiseite legen ( zählte aber weiterhin ) und mit dem Rest weitermachen um im Endergebnis zusammen mit den Rausgenommenen endlich die Legzahl festzulegen...
Und: 1 war Hundert, 6 = 60 und 2 x 6 konnte man - musste aber nicht - zu einer 1 "umformen"...
Dieses Regelwerk trocken auf das Papier zu bringen wollte ich mir nicht zumuten.
Man versteht es intuitiv aber sehr schnell wenn man ein wenig zuschaut oder in Realität mitspielt.
Ich habe damals in epischer Handarbeit und einem 80 Schritte "programmierbaren TR" eine 3-D Tabelle erstellt, die in Abhängigkeit schon getätigter Würfe und der momentanen Gegnerzahl, mir die Entscheidung erleichterte.
typische Frage: soll ich mit erzielten 203 Punkten in 2 Versuchen gegen 4 Gegner einen dritten Versuch mit einem Würfel wagen um mich auf 202,203 204,205,260, 300 zu "verbessern", wobei mir dann nicht 4x2 , sondern 4x3 Würfe entgegenstehen ?
Der Vorleger hatte auch die Möglichkeit "Tief" zu spielen also war dann das Minimum gefragt ....
Und dann das Ganze noch in set 1 und set 2 unterteilt. unglücklich
-----------------------------------------------------------------------
Ich wollte aus verständlichen Gründen weg vom numerisch/diskreten hin zum analytisch/stetigem und mit einer verständlichen ZV, um eine grundsätzliche Frage zu klären.
Das scheint nun mit der Hilfe von HAL gelungen zu sein.
Nochmals Danke an HAL und all die anderen Helfer vom Matheboard.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

der Schwellenwert und die Siegwahrscheinlichkeit mit dem optimalen macht mir Schwierigkeiten.
Die theoretische Gewinnwahrscheinlichkeit ist eigentlich nicht von Bedeutung.

Mir geht es nur um eine Entscheidungsregel , ob ich nach dem ersten Wurf ( mit dem Ergebnis ) einen weiteren Wurf tätigen soll.
Diese Entscheidungsregel sollte mMn von abhängig sein.

Deine Formel ist toll, doch in diesem Fall mMn ein etwas großes Geschütz Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun der Thread steht allen offen, Antworten/Anregungen sind willkommen.

Zitat:
Original von HAL 9000

EDIT: Jetzt erst hat es "Klick" gemacht: Die Gegner dürfen nur dann zweimal würfeln, wenn auch du zweimal gewürfelt hast. [...]

Klammern sind von mir

Das ist die Gewinnwkt. in Abhängigkeit vom Schwellenwert s. und zwar vor dem Spiel überhaupt..

ist die Wkt. dass nicht alle Würfe unterhalb von s landen unter der Bedingung selbst < s zu würfeln. Der Sinn will mir nicht einleuchten.

Warum steht da nicht damit wäre ich gleichberechtigt einer von n+1 im Boot derer, die alle <s würfeln ?

Auch B kann ich nicht interpretieren. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht nur die Endformel anschauen, sondern den Weg (s.o.):

Term A ist der Anteil der Siegwahrscheinlichkeit für die Fälle, dass im ersten Wurf gewürfelt wird, und somit kein zweiter Wurf stattfindet. Wie oben zu sehen ist das einfach die bedingte Siegwahrscheinlichkeit bei Wurfwert integriert über das Verteilungsintervall . Und da kommt das eben so raus!!!

Entsprechend ist Term B der restliche Anteil Siegwahrscheinlichkeit: Durch das Neuwürfeln in diesem Fall ist das einfach die Fallwahrscheinlichkeit multipliziert mit der Siegwahrscheinlichkeit eines erneuten, vom ersten unabhängigen zweiten Wurfes bei Gegnern (identisch mit Gegnern, die jeweils zweimal würfeln und das Maximum raussuchen dürfen).


Zitat:
Original von Dopap
ist die Wkt. dass nicht alle Würfe unterhalb von s landen unter der Bedingung selbst < s zu würfeln. Der Sinn will mir nicht einleuchten.

Mir will auch nicht einleuchten, wieso du dir trotz vorhandenen Rechenwegs rein aus dem Endergebnis etwas zurechtbiegen willst, wie diese Formel zustande gekommen sein mag - und diese deine Erklärung hat aber nichts mit dem zu tun, wie es wirklich zu dem Term kam. unglücklich
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
[...]
Hmmm, also du wirfst einmal und entscheidest dann anhand eines passend gewählten Schwellwertes , ob du noch ein zweites Mal wirfst?

Es gilt auf alle Fälle der letzte durchgeführte Wurf, während die Gegner jeweils den besseren von zwei Würfen einbringen können?[...]


um genau zu sein: nicht wenn ich nur einmal würfele, denn das Rote

Zitat:

Dann ist die Siegwahrscheinlichkeit für dich gleich



erweckt den Eindruck, dass meine Gegner immer 2x würfeln dürfen.
Das sollte geklärt sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Dann ist die Siegwahrscheinlichkeit für dich gleich



erweckt den Eindruck, dass meine Gegner immer 2x würfeln dürfen.

Deine erweckten Eindrücke erweisen sich zum wiederholten mal als falsch: Der zweite Term (und damit das Integral darin) ist für den Fall, dass du zweimal würfelst. Wenn du jetzt auch noch in Frage stellst, dass der Gegner da zweimal würfelst, dann kann ich nur sagen: Erstaunt1

Im übrigen haben wir schon lange festgestellt, dass im ersten Term Exponent n stehen muss - ich weiß nicht, warum du nach so langer Zeit noch eine längst obsolete Formel zitierst. Forum Kloppe

D.h. wenn schon, dann geht es um

.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

In der ersten Version war der rote Exponent auch vorne. Augenzwinkern

Ich möchte aber auch keinen unvollendeten Thread stehen lassen...

Gut, dass das jetzt geklärt ist.

edit: und danke für geduld und mühen !
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal euer Einverständnis vorausgesetzt und die letzten drei Posts entfernt. Das war kein schöner Austausch und schien mir ohnehin auf einem Missverständnis zu beruhen smile .
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