Integral

16.01.2017, 12:48	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hallo, Irgendwo hier ist ein Fehler. Es ist ein etwas langer Weg, aber was solls. $\begin{eqnarray} \int\frac{\sin(2t)}{\sqrt{1+e^{\cos^2(t)}}}dt=2\int\frac{\sin(t)\cos(t)}{\sqrt{1+e^{\cos^2(t)}}}dt \end{eqnarray}$ Sub 1: $\begin{eqnarray} u=\cos(t) \Rightarrow dt=\frac{du}{-\sin(t)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -2\int\frac{u}{\sqrt{1+e^{u^2}}}du \end{eqnarray}$ Sub 2: $\begin{eqnarray} \exp(u^2)=s \Rightarrow u=\sqrt{ln(\|s\|)} \Rightarrow du=\frac{1}{2\sqrt{\ln(\|s\|)}s}ds \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -2\int \sqrt{\ln(\|s\|)} \frac{1}{\sqrt{1+s}} \frac{1}{2\sqrt{\ln(\|s\|)}s}ds=-\int \frac{1}{\sqrt{1+s}\cdots}ds \end{eqnarray}$ Sub 3: $\begin{eqnarray} k=\sqrt{1+s} \rightarrow k^2=1+s \Rightarrow s=k^2-1 \Rightarrow ds=2kdk \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (-1)\int\frac{1}{k^2-1}\frac{1}{k} 2 dk = -2\int\frac{1}{k^2-1}dk = -2\int\frac{1}{(k-1)(k+1)}dk \end{eqnarray}$ Mit einer PBZ kriegen wir: $\begin{eqnarray} -2\int \frac{1}{2(k-1)}-\frac{1}{2(k+1)} dk = (-1)\ln\bigg(\frac{\|k-1\|}{\|k+1\|}\bigg) + C = \ln\bigg(\frac{\|k+1\|}{\|k-1\|}\bigg) + C \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} k=\sqrt{1+s}=\sqrt{1+\exp(u^2)}= \end{eqnarray}$ somit ist die Lösung $\begin{eqnarray} \ln\bigg(\frac{\|\sqrt{1+\exp(cos^2(x))}+1\|}{\|\sqrt{1+\exp(cos^2(x))}-1\|}\bigg) + C \end{eqnarray}$ Frage 1: Wo ist der Fehler? Die offizielle Lösung lautet $\begin{eqnarray} \ln\bigg(\frac{\|1+\sqrt{1+\exp(cos^2(x))}\|}{\|1-\sqrt{1+\exp(cos^2(x))}\|}\bigg) + C \end{eqnarray}$ Ich find ihn einfach nicht, obwohl es wohl etwas simples sein muss.
16.01.2017, 12:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Überseh ich gerade was, oder sagt die Lösung $\begin{eqnarray} \| a - b \| \end{eqnarray}$ und deine $\begin{eqnarray} \| b - a\| \end{eqnarray}$ -- oder gibt es noch einen Unterschied
16.01.2017, 12:54	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin jetzt deine Rechnung nicht durchgegangen, aber wo liegt denn der Unterschied von deiner Lösung zur Musterlösung? Edit: Zum Vorgehen: Die Substitution u=cos^2(t) am Anfang wäre sinnvoller gewesen.
16.01.2017, 13:32	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, ich kann ja ein (-1) ausklammern, was vom Betrag aufgefressen wird. hmm, keine Ahnung was ich hier überlegte. Krass. Danke... Ja, die Substitonen sind wohl nicht die besten, aber naja. Es klappte.

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