Kongruenz und Strahlensatz

16.01.2017, 14:26	Stan2017	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenz und Strahlensatz Hallo miteinander Ich würde gerne den Strahlensatz einführen. Dazu möchte (bzw. kann) ich leider nur Kongruenzen verwenden. Kennt jemand einen Link oder hat jemand eine gute Skizze, die zeigt, wie sich zwei Geraden (von einem Punkt ausgehend) so von Parallelen teilt, dass die Abschnitte dazwischen immer gleich sind? Damit sollten sich jeweils rechtwinklige Dreiecke einzeichnen lassen und anhand der Kongruenz zeigen lassen, dass die Abschnitte wirklich jeweils gleich gross sind. Leider habe ich bisher keine gute Grafik bzw. kein gutes PDF gefunden, welche die Herleitung auf diese Weise zeigt. Könnte mich da jemand unterstützen bzw. zeigen, wo's eine solche Grafik hätte? (Auf die Herleitung per Strahlensatz möchte ich verzichten, da die Schüler den noch nicht hatten...) Danke und Gruß, Stan
20.01.2017, 08:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]43701[/attach] Die Parkettierung mittels kongruenter Dreiecke zeigt, wie eine $\begin{align} n \end{align}$ -Teilung auf dem einen Strahl in Einheitsstrecken $\begin{align} e \end{align}$ sich mittels Parallelen auf den anderen Strahl in Einheitsstrecken $\begin{align} f \end{align}$ übertragen läßt. Hat man nun in der Situation des Strahlensatzes wie in der zweiten Figur Strecken mit den Längen $\begin{align} a,a' \end{align}$ und $\begin{align} b,b' \end{align}$ , so daß das Verhältnis $\begin{align} \frac{a'}{a} = \lambda \end{align}$ rational ist, etwa $\begin{align} \lambda = \frac{m}{n} \ \ \text{mit} \ \ m,n \in \mathbb{Z}; \ m,n>0 \end{align}$ so führt man mittels Parallelen eine $\begin{align} n \end{align}$ -Teilung der beiden Strahlen wie in der ersten Figur aus, also $\begin{align} a = n \cdot e , \ b = n \cdot f \end{align}$ Dann folgt: $\begin{align} a' = \lambda a = \frac{m}{n} \cdot a = \frac{m}{n} \cdot n \cdot e = m \cdot e \end{align}$ Die ersten $\begin{align} m \end{align}$ Teilstrecken ergeben also zusammen $\begin{align} a' \end{align}$ . Die Übertragung auf den anderen Strahl zeigt, daß die ersten $\begin{align} m \end{align}$ Teilstrecken entsprechend $\begin{align} b' \end{align}$ ergeben müssen, also $\begin{align} b' = m \cdot f \end{align}$ Und jetzt folgt: $\begin{align} \frac{b'}{b} = \frac{m \cdot f}{n \cdot f} = \frac{m}{n} = \lambda \end{align}$ Damit besteht dasselbe Verhältnis $\begin{align} \lambda \end{align}$ : $\begin{align} \text{(1)} \ \ \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \end{align}$ Man kann noch weiterrechnen: $\begin{align} \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{a'+a''}{a'} = \frac{b'+b''}{b'} \ \ \Leftrightarrow \ \ 1 + \frac{a''}{a'} = 1 + \frac{b''}{b'} \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{(2)} \ \ \frac{a''}{a'} = \frac{b''}{b'} \end{align}$ $\begin{align} \text{(1)} \end{align}$ und $\begin{align} \text{(2)} \end{align}$ sind der Inhalt des 1. Strahlensatzes, allerdings nur für rationale Streckenverhältnisse. Die Übertragung auf reelle Streckenverhältnisse gelingt, weil irrationale Zahlen beliebig gut durch rationale Zahlen approximiert werden können. Ob man das in der Schule problematisieren oder großzügig ignorieren wird, hängt vom Alter der Schüler und ihren intellektuellen Möglichkeiten ab. Auch braucht man nicht allgemein mit $\begin{align} n \end{align}$ und $\begin{align} m \end{align}$ zu argumentieren, wenn man ein typisches Beispiel wählt, etwa $\begin{align} n=11 \end{align}$ und $\begin{align} m=4 \end{align}$ . Man schließt vom Beispiel auf den allgemeinen Fall. Universitär wäre das natürlich eine Beweiskatastrophe, in der Schule ist das aber erlaubt, wenn, wie gesagt, das Beispiel nicht zu simpel ist und sozusagen den allgemeinen Fall vertritt.

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