Mantelfläche eines Kegels

16.01.2017, 14:39	thex	Auf diesen Beitrag antworten »
Mantelfläche eines Kegels Meine Frage: Es geht um die Berechung der Mantelfläche eines Kegels. Wenn man die Mantelfläche als Integral des von der Höhen abhängigen Umfangs berechenen möchte, muss entlang der Höhe oder der Matnellinie integriert werden ? Meine Ideen: $\begin{eqnarray} dA=\int_{0}^{z} \! 2\pir(z) \, dz \end{eqnarray*}$ ich hätte gesagt über die Höhe, aber in den Musterlösungen wird über die Mantelinie integriert Danke!
16.01.2017, 21:46	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mantelfläche eines Kegels [attach]43665[/attach] Es wird natürlich entlang der Mantellinie (s) integriert, denn der Mantel wird von Linienelementen $\begin{eqnarray} \dd s \end{eqnarray}$ der Seitenlinie des Kegels erzeugt. Wir werden aber $\begin{eqnarray} \dd s \end{eqnarray}$ mittels des Strahlensatzens (Ähnlichkeit) leicht in $\begin{eqnarray} \dd z \end{eqnarray}$ umrechnen! $\begin{eqnarray} \dd z : \dd s = h : s \ \to \ \dd s = \frac s h \dd z \end{eqnarray}$ Der Radius des Kegels ist r, dessen Höhe h. Daraus ergibt sich auch die Länge der Mantellinie s (mittels Pythagoras). Nun forme das Integral um (es wird nach z in den Grenzen von 0 bis h integriert!) und schreibe dann alle Konstanten davor: $\begin{eqnarray} A=\int_{0}^{h} \! 2\pi \cdot r(z) \ \dd s = \int_{0}^{h} \! 2\pi \cdot r(z) \ \cdot \frac s h \ \dd z = 2 \pi \frac s h \int_{0}^{h} r(z) \dd z \end{eqnarray}$ Nun ist noch $\begin{eqnarray} r(z) \end{eqnarray}$ zu berechnen, also wie der Radius $\begin{eqnarray} r(z) \end{eqnarray}$ eines Parallelkreises von der momentanen Höhe $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ abhängt: Dies geschieht ebenfalls mittels der Ähnlichkeit der rechtwinkeligen Dreiecke: $\begin{eqnarray} r(z) : z = r : h \end{eqnarray}$ Berechne nun daraus $\begin{eqnarray} r(z) \end{eqnarray}$ und setze dieses in das Integral ein. Alle konstanten Faktoren kommen davor, im Integral verbleibt nur noch $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ . Nach Ausführung des Integrals und einigem Kürzen sollte $\begin{eqnarray} A = r \pi s \end{eqnarray}$ das Resultat sein. mY+

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