Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0

16.01.2017, 16:34

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0

Meine Frage:
Man soll folgende Menge $\begin{eqnarray*} B = \{ z \in \mathbb{C} | Re(\sqrt{z-i}) > 0\} \end{eqnarray*}$ zeichnen.

Meine Ideen:
Normalerweise würde ich $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann versuchen das ganze so umzuformen, dass man Realteil und Imaginärteil leicht voneinander trennen kann. Dann hätte man es schon dastehen, jedoch macht mir die Wurzel zu schaffen.
Da ich keinen näheren Informationen zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ habe, kann ich wohl schlecht die "allgemeine" Wurzel ausrechnen. Alle möglichen Fälle durchgehen kann auch nicht richtig sein...das bringt mich nicht weiter.

Gibt es eventuell irgendeine Identität für den gegeben Term oder sonstiges?

16.01.2017, 16:56

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Was passiert mit dem Winkel beim Radizieren einer komplexen Zahl?

Viele Grüße
Steffen

16.01.2017, 17:06

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Er wird dividiert und speziell in diesem Fall halbiert.

16.01.2017, 17:14

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
So ist es. Und wenn wir jetzt (etwas unsauber!) ansetzen, dass der Winkel einer jeden komplexen Zahl zwischen -180° und +180° beträgt, was kann man nach dem Radizieren für den Realteil sagen?

16.01.2017, 17:25

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Das der Realteil größer gleich 0 ist

16.01.2017, 17:29

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Also alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ deren Realteil streng größer als $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sind.
$\begin{eqnarray*} B = \{ z \in \mathbb{C} | Re(z)> i \} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank!

Anzeige

16.01.2017, 17:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung: Nette Aufgabe, um mal Eigenschaften des Wurzelhauptwerts in den Blickpunkt zu rücken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2017, 17:32

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Ein Realteil ist eine reelle Zahl, so kann man das nicht schreiben.

Wir haben doch herausgefunden, dass für fast alle komplexen Zahlen gilt, dass der Realteil ihrer Wurzel positiv ist. Nun formuliere die Ausnahme und Du hast die Menge B.

16.01.2017, 17:35

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Eigenschaften des Wurzelhauptwerts

Ja, das meinte ich vorhin mit unsauber. So richtig felsenfest definiert ist der ja für komplexe Zahlen nicht, finde ich. Was Wiki schreibt, steht auch nur mit "kann" da.

17.01.2017, 10:55

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Also der Realteil von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , aber auch der von $\begin{eqnarray*} z-i \end{eqnarray*}$ ist nach den radizieren positiv. Also lässt sich die Menge schreiben als $\begin{eqnarray*} B = \{ z\in \mathbb{C} | a \in \mathbb{R} \setminus 0, b \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ .
Zeichnerisch also alles war nicht auf der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse liegt.

17.01.2017, 11:25

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Nein, was auf der Imaginärachse liegt, hat den Winkel 90° bzw. -90°, nach dem Radizieren also 45° bzw. -45° und somit ebenfalls einen positiven Realteil.

Wo ich mal hinschauen würde, ist bei 180°.

18.01.2017, 07:58

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lösungsmenge komplexer Gleichung zeichnen Re( sqrt(z-i))>0
Wenn der Winkel von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z-i \end{eqnarray*}$ genau 180° beträgt, dann ist er nach dem Radizieren auf genau 90°. Dies bedeutet aber, dass sie Realteil gleich 0 haben und damit nicht mehr der Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Neuer und hoffentlich letzter Versuch:
$\begin{eqnarray*} B = \{ z \in \mathbb{C} | arg(z) \neq \pi +2 \pi k, \;\; k \in \mathbb{Z} \} \end{eqnarray*}$

18.01.2017, 08:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von toneesnightmare
Wenn der Winkel von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z-i \end{eqnarray*}$ genau 180° beträgt, dann ist er nach dem Radizieren auf genau 90°.

Mit diesem Satz ist die Saat für das Scheitern bereits gelegt. Wenn schon, dann muss er so lauten:

Zitat:

Wenn der Winkel von $\begin{eqnarray*} z-i \end{eqnarray*}$ genau 180° beträgt, dann ist er nach dem Radizieren auf genau 90°.

Schließlich sind die Argumente von $\begin{align*} z \end{align*}$ und $\begin{align*} z-i \end{align*}$ i.a. verschieden.

Außerdem kannst du das mit dem $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$ sein lassen: Laut Definition der Argumentfunktion nimmt diese nur Werte im Intervall $\begin{align*} (-\pi,\pi] \end{align*}$ an.

18.01.2017, 09:44

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber Du bist dennoch nah dran. Machen wir's doch mal wie früher:

Ich denke mir eine Zahl. Von der ziehe ich i ab. Dann ist der Winkel 180°. Wie heißt meine Zahl? (Ja, es gibt mehrere Lösungen.)

18.01.2017, 11:37

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \arg(z-i) =\pi \Leftrightarrow ( Re(z) <0 \vee Im(z) = 1 )<br /> \end{eqnarray*}$

18.01.2017, 12:38

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Das sind die komplexen Zahlen, die wir ausschließen müssen.

Und wie zeichnet man das in die komplexe Ebene?

18.01.2017, 12:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sind wir fast am Ziel - fast:

Was ist mit $\begin{align*} z=i \end{align*}$ selbst? Für diesen Wert ist $\begin{align*} \arg(z-i) = \arg(0) \end{align*}$ undefiniert, aber gehört dieser Wert $\begin{align*} z=i \end{align*}$ zu $\begin{align*} B \end{align*}$ oder nicht?

18.01.2017, 12:44

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein das ich vorhin "und" und "oder" verwechselt habe,

$\begin{eqnarray*} \arg(z-i) =\pi \Leftrightarrow ( Re(z) <0 \wedge Im(z) = 1 ) \end{eqnarray*}$

18.01.2017, 12:47

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von toneesnightmare
Kann es sein das ich vorhin "und" und "oder" verwechselt habe

Nein, es geht doch um die Zahlen, die wir ausschließen wollen. Und z=1+i wird z.B. nicht ausgeschlossen.

EDIT: Ach so, jetzt steht das UND da und vorher das ODER. Ja, dann stimmt's jetzt so. Alle komplexen Zahlen mit negativem Realteil und Imaginärteil Eins müssen raus.

Bedenke noch HALs Anmerkung (was ist mit Realteil Null?) und skizziere die Menge.

18.01.2017, 14:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von toneesnightmare
Kann es sein das ich vorhin "und" und "oder" verwechselt habe,

$\begin{eqnarray*} \arg(z-i) =\pi \Leftrightarrow ( Re(z) <0 \wedge Im(z) = 1 ) \end{eqnarray*}$

Doch, stimmt - hatte ich oben auch übersehen, hier muss tatsächlich ein "UND" $\begin{align*} \wedge \end{align*}$ stehen. Es werden eben nur nicht alle (aus B) auszuschließenden Zahlen erfasst, denn eine fehlt - aber auf beiden Seiten der durchaus richtigen Äquivalenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2017, 10:36

toneesnightmare

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} z = i \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} Re( \sqrt{i-i} ) = Re( 0) = 0 \end{eqnarray*}$
und damit gehört $\begin{eqnarray*} z=i \end{eqnarray*}$ nicht zur Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Zeichnerisch wäre die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ also alles was nicht auf der gerade
$\begin{eqnarray*} C(t): [-\infty,0] \rightarrow \mathbb{C}: t \rightarrow i+t \end{eqnarray*}$ liegt.
(Bin mir nicht ganz klar wie man das in diesen Editor hier zeichnet)

19.01.2017, 10:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B. so: $\begin{align*} B \end{align*}$ ist alles außerhalb des roten Strahls.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »