Exponentialgleichung lösen

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Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialgleichung lösen
Meine Frage:
Hallo Ihr Lieben.
Ich hoffe mein Beitrag ist im richtigen Bereich gelandet.

Ihr habt mir einmal so toll geholfen, sodass ich Eure Hilfe nochmal in Anspruch nehmen möchte und auch muss.
Ich studiere Wirtschaft und Recht, am Freitag ist die Klausur und ich komme trotz mehrmaligen gescheiterten Versuchen nicht auf die Lösung.
Die Aufgabe lautet: 9^(2x-3) - 9^(2x-2) = 3^(3x-1) - 3^(3x+1)
Ich danke schonmal im Voraus für die Hilfe !
Liebe Grüße.

Meine Ideen:
Mein Ansatz sieht wie folgt aus, ersteinmal alles auf eine Seite bringen
9^(2x-3) - 9^(2x-2) - 3^(3x-1) + 3^(3x+1)
Dann habe ich alles auf eine Potenz gebracht:
9^(2x-3) - 9^(2x-2) - 9^(6x-2) + 9^(6x+2) = 0
Und nun habe ich den Logarithmus angewandt:
(2x-3) x lg(9) - (2x-2) x lg(9) - (6x-2) x lg(9) + (6x+2) x lg(9) = 0
Nun komme ich nicht weiter. Ich habe vieles ausprobiert.
a) auf beiden Seiten geteilt durch lg(9), sodass die Logarithmen wegfallen
b) dann habe ich versucht das zusammenzufassen indem ich lg9 x 2x zum Beispiel beim ersten rechne
c) Eine Überlegung war noch die Logarithmusgesetze anzuwenden, aber das funktioniert doch nur bei zwei Logarithmen, oder? Ich habe ja nur einen.
Egal mit welcher Variante --> bei mir lösen sich die x auf, sodass ich zu keinem Ergebnis komme.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Spiegelchen,

Zitat:
Mein Ansatz sieht wie folgt aus, ersteinmal alles auf eine Seite bringen
9^(2x-3) - 9^(2x-2) - 3^(3x-1) + 3^(3x+1)
Dann habe ich alles auf eine Potenz gebracht:
9^(2x-3) - 9^(2x-2) - 9^(6x-2) + 9^(6x+2) = 0
Und nun habe ich den Logarithmus angewandt:
(2x-3) x lg(9) - (2x-2) x lg(9) - (6x-2) x lg(9) + (6x+2) x lg(9) = 0


Da stimmt leider nicht eine Zeile von. unglücklich
In Zeile 2 und vor allem 3 sind die Fehler recht gravierend. Ich würde vorschlagen du wendest erstmal ein Potenzgesetz an:



Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank. traurig
Kein Wunder, dass das Ergebnis dann falsch war. Also:
9^(2x) * 9^(-3) - 9^(2x) * 9^(-2) = 3^(3x) * 3^(-1) - 3^(3x) * 3^(1)

Jetzt eventuell alles auf eine Seite bringen? Oder wäre jetzt Logarithmieren richtig?
Ich wäre nie auf diesen Schritt gekommen - DANKE !
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst den Logarithmus nicht in eine Summe oder Differenz ziehen. Daher sprach ich von einem gravierenden Fehler in Zeile 3. Es ist:



Stattdessen klammere aus:

Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

9^(2x)*((9^(-3) -9^(-2)) = 3^(3x) x ((3^(-1) - (3^1))
Wäre dies soweit richtig?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das stimmt. Freude

Die Klammern kannst du ausrechnen. Wende zudem wieder ein Potenzgesetz an:



Wie lautet dann deine Gleichung?
 
 
Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Klammern ausrechne erhalte ich folgendes:
9^(2x)x(-8/729) = 3^(3x) x (-8/3)
Potenzgesetz angewandt:
3^(2^)2x)) x (-8/729) = 3^(3x) x (-8/3)
3^(4x) x (-8/729) = 3^(3x) x (-8/3)
Hoffe das ist soweit richtig.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder richtig. Freude

Nun könntest du zunächst die Gleichung durch und anschließend durch dividieren. Denke dann auch an das Potenzgesetz . Was erhältst du dann?
Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt, dass x = 5 ist.
Vielen vielen vielen Dank für deine Hilfe ! Das muss ich mir nochmal in Ruhe angucken Freude Freude Freude Freude
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt natürlich! Sehr gut.
Dann guck dir das noch mal in Ruhe an. Falls noch Fragen auftauchen kannst du diese ja gerne noch stellen. Ansonsten wünsche ich dir einen schönen Abend!

Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch anders ausklammern, so dass nicht so viele hässliche Brüche entstehen:

Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Es hat sich noch eine Aufgabe aufgetan, die bei mir nicht hinhaut. Habe sechs Aufgaben dank Deiner Hilfe gestern lösen können. Aber bei dieser Aufgabe hat sich anscheinend wieder einmal ein Fehler eingeschlichen oder ich habe einfach die Gesetze (wieder) nicht beachtet. Vielleicht kannst du mir ja nocheinmal helfen.
Hier die Aufgabe.
die x+2te Wurzel aus 100^(2x-1) = die xte Wurzel aus 100^(5-x)

Ich habe zuerst in Wurzelgesetz angewandt und es umgeschrieben zu:
100^((2x-1)/(x+2) = 100^((5-x)/(x)

Danach habe ich den Logarithmus angewendet, durch den Logarithmus von 100 geteilt.

Anschließend nach x aufgelöst und komme auf ein falsches Ergebnis.

Vielleicht kannst du mir ja sagen, ob der erste Umformungsschritt mit dem Wurzelgesetz denn so machbar ist. Dann kann ich nochmal in Ruhe schauen, wo sich der Fehler eingeschlichen hat.

Danke!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spiegelchen
Ich habe zuerst in Wurzelgesetz angewandt und es umgeschrieben zu:
100^((2x-1)/(x+2) = 100^((5-x)/(x)

Es wäre ja nett, wenn du dir auch mal Latex angewöhnen könntest:



Die Spielchen mit dem Logarithmus kannst du dir sparen. Bei gleicher Basis brauchst du nur die Exponenten gleichsetzen. Zeige mal den Rest deiner Rechnung.
Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »



Auf beiden Seiten / lg(100)

/





(2x-1) * x = 3x + 10 - x²

2x²-x = 3x + 10 - x²
0 = 4x + 10 -3x²

Hier kommt eine falsche Lösung raus. Irgendwo muss ein Fehler sein. verwirrt

Danke !
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In der Rechnung kann ich keinen Fehler finden. Er muß also in der Lösung der quadratischen Gleichung liegen. geschockt
Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön, dann schau ich noch einmal in die Lösung. Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Angesichts des unbändigen Drangs der Aufgabenersteller nach schönen runden Lösungen stelle ich mal folgende Vermutung auf:

Die Originalgleichung war , also rechts nur 10 statt 100.
Spiegelchen Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht ich habe mich vertippt.
Das ist nicht mein Drang, sondern wollte ich lediglich auf die Lösung meines Dozenten kommen :-)

Ein großes Dankschön an alle Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spiegelchen
Das ist nicht mein Drang

Komisch, dass du dich angesprochen fühlst: Ich war oben nicht davon ausgegangen, dass du der Aufgabenersteller bist - oder bist du Lehrer bzw. Schulbuchautor? smile
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