Grenzwert einer Matrix berechnen? Eigenwerte, Eigenvektoren, Polynom

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mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Matrix berechnen? Eigenwerte, Eigenvektoren, Polynom
Meine Frage:
Hallo!

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Vor: außerdem sei

Beh: und

Meine Ideen:
Leider sind meine eigenen Ansätze bis jetzt ziemlich mager. Ich habe bis jetzt erst herausgefunden, dass ich wohl bei dem ersten Teil der Aufgabe den Grenzwert der Matrix berechnen muss:

Hierfür muss ich anscheinend das charakteristische Polynom, die Eigenwerte der Matrix und die Eigenvektoren von der Matrix M berechnen. Ist dies soweit richtig?

Als erstes wollte ich jetzt das charakteristische Polynom berechnen und komme dabei auf:
richtig?

Nun muss ich ja die Nullstellen davon berechnen, habe aber jedoch 2 Unbekannte:



ab hier bin ich leider überfragt und hoffe auf Hilfestellung
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Matrix berechnen? Eigenwerte, Eigenvektoren, Polynom
Mir scheint, im charakteristischen Polynom hast du einen Vorzeichenfehler.

Ich schieb das mal in die Algebra.
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke fürs richtige Einordnen.

Ah, stimmt, müsste:



sein, oder?

So, ich habe das jetzt nochmal mit den Nullstellen versucht und komme dann auf:


Kann das sein? Wie gehe ich nun vor?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Matrix berechnen? Eigenwerte, Eigenvektoren, Polynom
Ich habe andere Lösungen. Denk mal an die binomischen Formeln, dann siehst du das vielleicht sofort. Die charakteristische Gleichung heißt übrigens:

Was du geschrieben hast, ist keine Gleichung, nur ein Polynom.

Man sollte übrigens Indizes tiefer setzen, was mit einem underline vor dem Index geht:
\lambda_1=

Besteht der Index aus mehreren Zeichen muss man ihn noch in geschweifte Klammern einschließen:
\lambda_{xy}=
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Korrektur bzgl des Polynoms.

Hm, leider sehe ich es nicht direkt, habe es einfach in die pq-Formel eingesetzt:



Warum geht das so nicht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Weil du die pq-Formel falsch anwendest. Richtig ist:

smile

Im Übrigen solltest du auch mal an die Mittelstufe und an die binomischen Formeln denken:

Augenzwinkern
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Weil du die pq-Formel falsch anwendest. Richtig ist:

Augenzwinkern


Nein, richtig ist


Man hätte dies auch einfacher sehen können, wegen .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Da warst du schneller, als ich meinen Beitrag und Formeln reviewen kann.
2 bis 3 Minuten für eine Kontrolle sollte man mir schon noch gönnen. geschockt
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, zu meinem Fehler sage ich jetzt lieber nichts mehr Hammer

Okay, also habe ich nur eine Nullstelle

Wie sollte man jetzt am besten vorgehen?

Den Eigenwert und Eigenvektor berechnen? Wie hilft mir das um auf meine Lösung zu kommen? Ist leider die erste Aufgabe die ich dazu rechne und das Skript ist dazu leider wenig hilfreich für mich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe02
Den Eigenwert und Eigenvektor berechnen?

Nun ja, den Eigenwert hast du ja jetzt. Jetzt brauchst du noch den zugehörigen Eigenraum.

Zitat:
Original von mathe02
Beh: und

Gibt es eigentlich dazu in der Aufgabe noch weitere Ausführungen?
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuche dann gleich den Eigenraum dazu aufzustellen.

Bin ich dann mit dem 1. Teil durch? Tut mir leid, mir ist nicht ganz klar was ich hier wofür mache.

Nein, leider ist mir nicht mehr bakannt als in meiner Behauptung steht.


Ich habe nun erstmal Vorlesung und würde heute Abend ab ca. 18.30Uhr wieder hier meine Zwischenlösung Posten können. Bist du da zufällig noch/ wieder da?

Vielen Dank schon mal für die Hilfestellungen Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe02
Bin ich dann mit dem 1. Teil durch?

Kommt drauf an, was du alles zu dem 1. Teil zählst.

Heute Abend bin ich leider nicht da. Vielleicht findet sich ein anderer.
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit 1. Teil meine ich :



Ist dieser Teil damit fertig wenn ich den Eigenraum aufgestellt habe?

Und wie gehe ich an den 2. Teil ran, also an:



?

Ich hoffe mal ich habe nachher Glück und imd schaut sich das an.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe02
Mit 1. Teil meine ich :



Ist dieser Teil damit fertig wenn ich den Eigenraum aufgestellt habe?

Nö, von einer Gleichung für M^k ist dann noch weit und breit nichts zu sehen. Ich müßte da selber noch rechnen, wozu mir leider im Moment die Zeit fehlt. traurig
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Da warst du schneller, als ich meinen Beitrag und Formeln reviewen kann.
2 bis 3 Minuten für eine Kontrolle sollte man mir schon noch gönnen.

Tut mir leid. Da war ich wohl zu schnell. Augenzwinkern Hatte halt zufällig nach dem Erhalt der Mail deinen Beitrag gesehen und zack ...
mathe02 Auf diesen Beitrag antworten »

Da klarsoweit mir heute wohl leider nicht mehr helfen kann, hoffe ich das sich jemand anderes findet Wink


Ich versuche nun den Eigenvektor zu berechnen und damit den Eigenraum der Matrix aufzustellen:

Berechnung des Eigenvektors:


ausgeschrieben also 2 Gleichungen:


Daraus folgt:


aber wie forme ich nun einen Eigenvektor daraus? traurig
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ähmm, drehst du gerade das Rad zurück? Ok, du nennst jetzt , und damit (s.o.) haben wir den Eigenwert der algebraischen Vielfachheit 2 (wieso du jetzt wieder mit so rumrechnest, als sei es noch unbekannt, bleibt wohl dein Geheimnis). Als nächstes zu bestimmen ist der Eigenraum zu diesem einen Eigenwert.


Zitat:
Original von mathe02
Hierfür muss ich anscheinend das charakteristische Polynom, die Eigenwerte der Matrix und die Eigenvektoren von der Matrix M berechnen.

Ich stell jetzt mal die Grundsatzfrage: Ist dieser Weg euch zwingend vorgeschrieben?

Es wird sich nämlich hier herausstellen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Die dann zwangsläufig auf diesem Weg zu beschreitende Ersatzroute verläuft über die Jordanzerlegung und ist ein wenig dornenreich - aber man lernt was dabei.


Die (ein wenig) dünnbrettbohrende Alternativvariante könnte so aussehen: Du berechnest die ersten paar Potenzen für (soweit wie nötig) und gewinnst dabei eine Vermutung über die allgemeine Formel - und diese Vermutung beweist du per Vollständiger Induktion. Geht vermutlich schneller, allerdings ist der Lerneffekt hinsichtlich linearer Algebra geringer. Augenzwinkern

Mit der gewonnenen Formel kannst du dann auch relativ zügig bestimmen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Es wird sich nämlich hier herausstellen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Die dann zwangsläufig auf diesem Weg zu beschreitende Ersatzroute verläuft über die Jordanzerlegung und ist ein wenig dornenreich - aber man lernt was dabei.

Allerdings ist das Ganze bei einer 2x2-Matrix noch überschaubar. Außerdem weiß man ja auch, wo man hin muß, denn die Jordan-Matrix hat die Form:



Jetzt brauchst du noch die Basiswechselmatrix B, so daß ist.

Wenn du dann noch eine Idee entwickelst, was J^k ist, läßt sich M^k relativ leicht ausrechnen. smile
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