Mantelfläche parametrisieren

17.01.2017, 10:28	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Mantelfläche parametrisieren Hallo, Wir betrachten den Hyperboloidstumpf $\begin{eqnarray} H:=\{(x,y,z)\in\mathbb R \| 1+x^2+y^2 \leq z^2, 0\leq z \leq 2\} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die Mantelfläche von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , also die Fläche von $\begin{eqnarray} S:=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \| 1+x^2+y^2 = z^2\} \end{eqnarray}$ Hinweis: Die Fläche $\begin{eqnarray} \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \|1+x^2+y^2 = z^2, z\geq 0\} \end{eqnarray}$ entsteht durch Rotation der Kurve $\begin{eqnarray} s\mapsto \begin{pmatrix}sinh(s)\\0\\ cosh(s)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ um die z-Achse. Lösung: Mit dem Hinweis können wir die Mantelfläche mittels $\begin{eqnarray} f(s,t):=\begin{pmatrix} sinh(s) cos(t)\\ sinh(s) sin(t)\\ cosh(s)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Rotationsfläche parametrisieren ( $\begin{eqnarray} 0\leq s \leq arccosh(2), 0\leq t\leq 2\pi) \end{eqnarray}$ Frage: Ich scheitere daran obige Lösung nachzuvollziehen. Ich habe auch irgendwie keine wirkliche Idee wie ich den Hinweis nutzen soll. Könnte mir mal jemand in Worten sagen, was man hier genau macht um auf diese Lösung zu kommen?
17.01.2017, 12:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist einfacher, den Körper um 90° zu drehen. Danach ist nicht mehr die z-Achse die Rotationsachse, sondern die x-Achse. In diesem Falle erhält man das gleiche Rotationshyperboloid, wenn man in einem xy-Koordinatensystem die folgende Funktion y=y(x) um die x-Achse rotieren lässt $\begin{eqnarray} y(x)=\sqrt{x^2-1} \end{eqnarray}$ Das Intervall lautet $\begin{eqnarray} x \in [1;2] \end{eqnarray}$ . Bekanntlich ergibt sich der Flächeninhalt einer Fläche, welche durch Rotation einer Funktion y=y(x) um die x-Achse entsteht, durch folgendes Integral $\begin{eqnarray} A=2\pi \cdot \int_{x_1}^{x_2} x\cdot \underbrace{\sqrt{1+\left (\tfrac{dy}{dx}\right )^2}\,dx}_{ds=\text {Bogenlängenelement}} \end{eqnarray}$ Setze dort die obige Funktion y(x) ein und wähle als Integrationsgrenzen das obige Intervall. Damit hat man das Problem auf ein eindimensionales Integral zurückgeführt.
17.01.2017, 13:48	balance	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich muss mittels Parametrisierung arbeiten. Also effektiv einen Weg angeben und dann ein Wegintegral lösen. Daher ist es schon wichtig, dass ich sehe, wie man in diesem Fall drauf kommt. Das Wegintegral wird dann wohl auch in ein Integral der Form deines resultieren. Aber die Aufgabenstellung verlangt halt eine Parametriserung. Aber danke

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