Primzahlen und Summen aufeinanderfolgender Zahlen

17.01.2017, 13:05

sanj13

Primzahlen und Summen aufeinanderfolgender Zahlen

Meine Frage:
Begru?nden Sie die folgenden Zusammenha?nge:
a) Jede Primzahl =?2 besitzt genau eine Zerlegung in eine Summe aufeinander folgender Zahlen.
b) 3 ist die einzige Primzahl, die zugleich Dreieckszahl ist.
c) Wenn eine Zahl n>3 bei Division durch 6 den Rest 2 oder den Rest 3 la?sst, dann ist n keine Primzahl.

Meine Ideen:
also bei 1 ist es logisch nur weis ich nicht wie ich das verschriftlichen soll, n+ (n-1) ist immer ungerade und primzahlen sind ja ungerade, reicht es zur begründung?

17.01.2017, 14:16

Ulrich Ruhnau

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RE: Primzahlen und Summen aufeinanderfolgender Zahlen
Zu a fällt mir etwas ein:
1+2=3
2+3=5
3+4=7
5+6=11
6+7=13
Das könnte man beliebig fortsetzten. Der Knackpunkt ist nur zu zeigen, daß es genau eine Zerlegung gibt und nicht mehr. Also wie berechnet man

$\begin{eqnarray*} p=m+(m+1)+\dots+(n-1)+n \end{eqnarray*}$ wobei p eine Primzahl ist und $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Bekannt ist ja:
$\begin{eqnarray*} 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ . Also ist
$\begin{eqnarray*} p=m+(m+1)+\dots+(n-1)+n = \frac{(n(n+1)-m(m-1)}{2} \end{eqnarray*}$
Und damit müßte man etwas anfangen, aber frage mich bitte nicht wie!

17.01.2017, 14:56

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RE: Primzahlen und Summen aufeinanderfolgender Zahlen
n(n+1)-m(m-1)=(n-m+1)(n+m)

Oder: Die Summe von k aufeinanderfolgenden positiven natürlichen Zahlen ist durch k teilbar

17.01.2017, 17:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von URL
Die Summe von k aufeinanderfolgenden positiven natürlichen Zahlen ist durch k teilbar

... wenn k ungerade ist.

Im Fall "k gerade" ist sie zumindest durch $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ teilbar.

Damit sind die Fälle $\begin{align*} k\geq 3 \end{align*}$ (fast) erledigt.

17.01.2017, 19:24

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Danke HAL. Kommt davon, wenn man die Reste mod k im Kopf addiert und dann beherzt durch k dividiert

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