Verkettung von Funktionen Definitionsbereich

17.01.2017, 18:30

m16

Verkettung von Funktionen Definitionsbereich

Meine Frage:
Wie lautet der Definitionsbereich einer verketteten Funktion f(g(x)), wenn f(x)= x^2 und g(x)=x^(1/2)?

Meine Ideen:
Eigentlich müsste ja der Definitionsbereich dann D(f(g(x))= $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in\mathbb R :x\geq 0\right\} x\in\mathbb R :x\geq 0 \end{eqnarray*}$ sein, da g(x) ja nur diesen Definitionsbereich hat, andererseits hebt sich ja das Wurzelzeichen in der verketteten Funktion mit dem ^2 auf, sodass f(g(x))=x weshalb streng genommen die Funktion ja für alle reellen Zahlen definiert sein müsste.

17.01.2017, 18:34

m16

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Tut mir leid der Definitionsbereich soll natürlich nur D(f(g(x))= $\begin{eqnarray*} \left\{ x\in \mathbb R :x\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$ heißen

17.01.2017, 23:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von m16
weshalb streng genommen die Funktion ja für alle reellen Zahlen definiert sein müsste.

"Streng genommen" heißt bei dir was?

Die Umformung $\begin{align*} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2 = x \end{align*}$ stimmt unter der Voraussetzung $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ . Nur weil das Endergebnis $\begin{align*} x \end{align*}$ auch für $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ definiert ist, heißt das noch lange nicht, dass die vorherige Umformung auch für diese $\begin{align*} x<0 \end{align*}$ gültig ist. unglücklich

Es gilt auch umgekehrt $\begin{align*} \left(x^2\right)^{\frac{1}{2}} = x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ . Hier ist der Term links sogar für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ erklärt - dennoch wäre die Schlußfolgerung " $\begin{align*} \left(x^2\right)^{\frac{1}{2}} = x \end{align*}$ gilt für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ " falsch: Tatsächlich gilt für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ die Identität $\begin{align*} \left(x^2\right)^{\frac{1}{2}} = |x| \end{align*}$ . smile

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