Regentonne Differentialgleichung

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17.01.2017, 19:18	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Regentonne Differentialgleichung Hallo Leute, ich komme hier mit einer recht einfachen Aufgabe nicht so recht weiter, vielleicht könnt ihr mir auf die Sprünge helfen. Es geht um eine zylindrische Regentonne mit rundem Loch im Boden. Pro Sekunde regnet es 0,2cm^3 in die Tonne und es fließt eine bestimmte Menge durch das Loch ab, die Abflussgeschwindigkeit beträgt $\begin{eqnarray} v=\sqrt{2gh(t)} \end{eqnarray}$ . Das Loch hat einen Querschnitt von 1mm^2. Die Tonne hat einen Durchmesser von d= 50cm und ist h=1m hoch. Es gilt jetzt herauszufinden wie hoch das Wasser maximal steigt, wann also die Abflussgeschwindigkeit größer als die Zuflussgeschwindigkeit wird. Mein Ansatz: da es sich um einen Zylinder handelt, berechnet sich das Volumen $\begin{eqnarray} v(t) = \pi r^2h(t) \end{eqnarray}$ und die gesuchte Höhe ist also: $\begin{eqnarray} h(t) = \frac{v(t)}{\pi r^2} \end{eqnarray}$ Das Volumen ist also von der Höhe abhängig welche wiederum Einfluss auf die Ausflussgeschwindigkeit hat, welche Einfluss auf das Volumen hat. Ich denke hier muss ich auf eine Differentialgleichung kommen, ich habe auch schon versucht nur die Änderungen in endlich kleinem Delta zu betrachten und dann in ein Integral zu überführen, aber so recht will das alles nicht funktionieren.
17.01.2017, 20:43	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Regentonne Differentialgleichung Ich wuerde sagen, als erstes musst Du das Problem durch Aufstellen einer Dgl mal modellieren. Philosophieren kannst Du dann hinterher. Mein Vorschlag waere: $\begin{eqnarray} \dot{V}=Q-vA. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist das Wasservolumen in der Tonne, $\begin{eqnarray} \dot{V} \end{eqnarray}$ dann dessen zeitliche Aenderung, und die setzt sich aus dem Regeneintrag pro Zeiteinheit $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ abzugelich dem Volumenabfluss durch das Loch im Boden zusammen, und der ist das Produkt aus Ausflussgeschwindigkeit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und Lochquerschnitt $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Gesucht ist eine stationaere Loesung.
18.01.2017, 01:09	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für deine Antwort. Genau das Aufstellen der DGL ist mein Ziel. Deinen Ansatz kann ich nachvollziehen, die Änderung des Volumens entspricht gerade der Differenz von Zufluss und Abfluss. Was eine stationäre Lösung ist, habe ich leider bisher in keiner Vorlesung gehört und ich bin mir auch relativ sicher, dass ich das hier nicht anwenden soll. Es müsste möglich sein, eine einfache lineare DGL aufzustellen, die dann durch einen geeigneten Ansatz lösbar ist.
18.01.2017, 02:00	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde mal die Höhe ins Spiel bringen 1.) $\begin{eqnarray} \dot V(t) :=Q- k_1 v(t) \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} v(t)^2 := k_2 h(t) \end{eqnarray}$ 3.) $\begin{eqnarray} \dot V(t) := k_3 \dot h(t) \end{eqnarray}$ die Konstanten stehen in der Aufgabe. Es fehlt noch die Anfangsbedingung h(0)=? für eine Funktionslösung h(t) Für die stationäre Lösung genügt Zuflussrate+Abflussrate=0
18.01.2017, 03:05	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man einsetzt, was gegeben ist, kriegt man $\begin{eqnarray} \pi r^2\dot{h}=Q-A\sqrt{2gh} \end{eqnarray}$ als Dgl raus. Eine lineare Gleichung ist bei der Wurzel fuer $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ nicht zu erwarten. Proportional zum Quadrat der Ausstroemgeschwindigkeit wird der Abfluss ja wohl kaum sein. Wie Dopap sagt, musst Du die Dgl nicht loesen, um die Aufgabe zu erledigen.
18.01.2017, 16:28	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok klar soweit. Der Zufluss ist ja konstant mit 0,2cm^3 pro Sekunde. Der Abfluss ist das Produkt aus Lochquerschnitt und Abflussgeschwindigkeit. Gesucht ist die Höhe h, so dass gilt: $\begin{eqnarray} c_{zufluss} = A_{querschnitt} \sqrt{2gh} \end{eqnarray*}$ Nach h umgeformt und Werte eingesetzt ergibt das: h = 0,00203874 m Was von den Einheiten plausibel ist, mir aber doch sehr wenig vorkommt.
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18.01.2017, 17:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
DANN setzt doch mal ein! und A ist nicht der Querschnitt der Tonne sondern der des Loches ! und $\begin{eqnarray} c_{zu} \end{eqnarray}$ steht im Text. nicht so viel diskutieren, vorrechnen!
18.01.2017, 18:55	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich habe ja eingesetzt. Dass der Querschnitt des Loches gemeint ist, ist klar. Umformung ergibt: $\begin{eqnarray} h = \frac{c_{zufluss}^2 }{2g(A_{querschnitt})^2 } \end{eqnarray}$ Werte (in SI einheiten) eingesetzt: $\begin{eqnarray} h = \frac{(210^{-7}\frac{m^3}{s} )^2 }{29,81\frac{m}{s^2} (10^{-6} m^2)^2 } = 0,0020387...m \end{eqnarray*}$ Das Vorgehen ist mir klar soweit, nur scheint mir mein Ergebnis von ca. 2mm unplausibel klein, weswegen ich an der Korrektheit der Rechnung zweifle.
18.01.2017, 19:06	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch an dem vorgegebenen Regeneintrag in die Tonne von 0,2 ml/s zweifeln. Starkregen ist das nicht gerade. Eher der gelangweilte Hiwi, der mit einer klemmenden Pipette den Regen simulieren soll, aber es nicht gebacken bekommt.
18.01.2017, 20:01	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
genau, physikalisch-praktischer Unsinn ! Wenn du das in eine Tonne tröpfelst bekommst du gar keinen Wasserstand. Da kriegt man ja mehr Wasser durch Kondensation nachts in der Wüste in die Tonne
18.01.2017, 20:11	gonzo91	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wird einem immer eingetrichtert, man solle nicht stumpf rechnen, sondern nachdenken, ob das Ergebnis plausibel ist und dann sowas. Vielen Dank für eure Hilfe.
18.01.2017, 20:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
aber das mit dem SI sollte wohl der eigentliche Test sein. sehr gut gemeistert

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