Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen

17.01.2017, 19:29	Laura99	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchysches Konvergenzkriterium für Reihen Meine Frage: Hallo, ich bräuchte Hilfe bei dem rechnerischen Beweis dieses Kriteriums. Ich bin erst in der 12ten Klasse, schreibe aber eine freiwillige Arbeit über Reihen, und hänge an diesem Beweis fest. Meine Ideen: Mir ist das Kriterium vom Sinn verständlich, also das es einen Index N gibt, ab dem alle Partialsummen "in" Epsilon>0 liegen. Jedoch weiß ich nicht, wie man dies rechnerisch herleitet und wie man die Konvergenz einer Reihe damit rechnerisch herausfinden kann. Ich freue mich auf eure Antworten Danke
17.01.2017, 19:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Laura99, kennst du bereits das Cauchykriterium für Folgen? Wenn du das nicht als gegeben voraussetzen kannst, könnte es leider ziemlich schwierig werden. Die Hauptschwierigkeit wäre dann, zu zeigen, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ jede Cauchyfolge konvergent ist. Es gibt im Prinzip zwei Herangehensweisen. Eine davon ist, $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ axiomatisch einzuführen, das heißt, man führt $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ durch Eigenschaften ein, die man gerne haben will, man sagt also: " $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sei das Objekt mit folgenden Eigenschaften: [Liste mit Eigenschaften]." Natürlich muss man irgendwann mal zeigen, dass es sowas überhaupt gibt, das macht man allerdings auch an der Uni meist nicht im ersten Semester. Eine dieser Eigenschaften, die man hier fordert ist, dass eben jede Cauchyfolge konvergiert, da gibt es dann nichts mehr zu zeigen. Es gibt andere Sachen, die man stattdessen fordern kann, etwa, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ jede nach oben beschränkte Menge eine kleinste obere Schranke hat, daraus kann man die Eigenschaft mit den Cauchyfolgen beweisen. Die andere Herangehensweise ist, dass man $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ heraus konstruiert. Dann kann man die Cauchyeigenschaft auch direkt beweisen, das halte ich für einen Schüler allerdings für viel zu schwierig.

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