Konjugationsklassen in PSL(2,p)

18.01.2017, 11:45	alcardaalanda	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugationsklassen in PSL(2,p) Hallo zusammen. Ich beschäftige mich gerade mit der Galoisiwirkung auf Beauville-Flächen und in diesem Zusammenhang sind auch die speziellen linearen Gruppen relevant. Dabei zerpflücke ich gerade folgendes Paper: Non-homeomorphic Galois conjugate Beauville structures on PSL(2,p) Hier stellen sich mir einige Fragen, unter Anderem zu Lemma 2 auf Seite 12. Ich schreibe es hier mal auf Englisch, vielleicht verstehe ich durch meine Übersetzung etwas nicht. Hierbei bezeichne $\begin{eqnarray} \phi(n) \end{eqnarray}$ die Eulersche Phi-Funktion. Fragen sind fett markiert. Let $\begin{eqnarray} p \geq 5 \end{eqnarray}$ be a prime number and $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ any natural number dividing either $\begin{eqnarray} (p-1)/2 \end{eqnarray}$ or $\begin{eqnarray} (p+1)/2 \end{eqnarray}$ . Then there are $\begin{eqnarray} \phi(n)/2 \end{eqnarray}$ conjugacy classes of elements of order $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} PSL(2,p) \end{eqnarray}$ . Im Beweis wird auf die Struktur von $\begin{eqnarray} PSL(2,p) \end{eqnarray}$ verwiesen und gesagt, dass es eine zyklische Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray} (p-1)/2 \end{eqnarray}$ gibt, nämlich das projektive Bild von $\begin{eqnarray} H_{-}:=\{M_{\lambda} \equiv \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \| \lambda \in \mathbb{F}_p^ \} \cong \mathbb{F}_p^* \end{eqnarray}$ , wobei wir $\begin{eqnarray} H_{-} \end{eqnarray}$ als Untergruppe von $\begin{eqnarray} SL(2,p) \end{eqnarray}$ auffassen . Das habe ich mal hingenommen. Nun sagen die Autoren, dass jedes Element in $\begin{eqnarray} PSl(2,p) \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einem Teiler von $\begin{eqnarray} (p-1)/2 \end{eqnarray}$ , konjugiert ist zu einem Element aus $\begin{eqnarray} H_{-} \end{eqnarray}$ . Wieso?* Dann wird gesagt, dass $\begin{eqnarray} H_{-} \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \phi(n) \end{eqnarray}$ Elemente der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ enthält (klar) und das all diese Matrizen verschiedene Spuren haben, außer die paarweise inversen Elemente $\begin{eqnarray} M_{\lambda_i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_{\lambda_i^{-1}} \end{eqnarray}$ , welche folglich konjugiert zueinander sind, da die Konjugationsklassen durch die Spur bestimmt sind. Es folgt, dass es $\begin{eqnarray} \phi(n)/2 \end{eqnarray}$ Konjugationsklassen von Elementen der Ordnung $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} PSL(2,p) \end{eqnarray}$ gibt. Hierzu stellen sich mir einige Fragen: 1.) Angenommen, wir nehmen $\begin{eqnarray} p=5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ . Dann teilt 2 offensichtlich $\begin{eqnarray} (5-1)/2 \end{eqnarray}$ und das Lemma würde aussagen, dass es in $\begin{eqnarray} PSL(2,5) \end{eqnarray}$ gerade $\begin{eqnarray} \phi(2)/2=1/2 \end{eqnarray}$ Konjugationsklassen von Elementen der Ordnung $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ gibt, aber das macht offensichtlich keinen Sinn. Wie habe ich die Aussage in diesem Fall zu interpretieren? 2.) In diesem Fall erhalten wir $\begin{eqnarray} H_{-}=\{A,B,C,D\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} C= \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D= \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nun hat $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Ordnung 1, die Matrizen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ haben Ordnung 4 und die Matrix $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ hat Ordnung 2. Betrachten wir die Matrizen aber als Elemente in $\begin{eqnarray} PSL(2,5) \end{eqnarray}$ , so werden doch die Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ sowie die Matrizen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ miteinander identifiziert, oder nicht? Daher kommt doch garantiert auch der Faktor $\begin{eqnarray} 1/2 \end{eqnarray}$ in der Aussage, da je zwei Matrizen "zusammenfallen". Aber ich weiß nicht, zu welcher dieser Matrizen ein Element in $\begin{eqnarray} PSL(2,p) \end{eqnarray}$ der Ordnung 2 konjugiert sein soll. Ich weiß, dass ein Element aus $\begin{eqnarray} PSL(2,p) \end{eqnarray}$ der Ordnung 2 die Spur 0 hat, beispielsweise ist $\begin{eqnarray} E= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein solches Element. Aber ich sehe nicht, wie ich dies als konjugiertes Element zu einem aus $\begin{eqnarray} H_{-} \end{eqnarray}$ auffassen soll. Und wie gesagt, laut Aussage des Satzes gibt es ja auch nur "0,5" Konjugationsklassen von Elementen der Ordnung 2. Wo liegt mein Denkfehler? Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.

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